Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/158

XVI.

Considérons le cas dans lequel le fluide à une densité quelconque $\Delta ,$ et supposons qu’alors l’expression de $y$ ait la forme suivante

${\begin{aligned}&y=\varepsilon \left(3\cos ^{2}\theta -1\right)\\&+\sin \theta \cos \theta \cos(it+\varpi )\left(f+f^{(1)}\sin ^{2}\theta +f^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +f^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)\\&+\sin ^{2}\theta \cos(2it+2\varpi )\left(p+p^{(1)}\sin ^{2}\theta +p^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +p^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right),\end{aligned}}$

$\varepsilon ,f,f^{(1)},\ldots ,p,p^{(1)},p^{(2)|fs=95\%},\ldots$ étant des coefficients constants qu’il s’agit de déterminer ; il est facile de s’assurer que cette valeur de $y$ satisfait à l’équation

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }y\sin \theta d\theta d\varpi =0\,;$

voyons ensuite si elle peut satisfaire aux équations (21) et (22) de l’article précédent ; on a, par cet article,

$y'=y-{\frac {\Delta }{g}}\int \mathrm {C} d\varpi \sin \theta \,;$

de plus, on a, par l’article IX,

$\mathrm {C} \Delta =-\sin(\ \ it+\ \ \varpi )\cos \theta \left(\lambda +\lambda ^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +\lambda ^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)$

$-\sin(2it+2\varpi )\sin \theta \left(\right.{\text{ʎ}}+{\text{ʎ}}^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +{\text{ʎ}}^{(r)}\sin ^{2r}\theta \left.\right)\,;$

$\lambda ,\lambda ^{(1)},\lambda ^{(2)},\ldots ,{\text{ʎ}},{\text{ʎ}}^{(1)},{\text{ʎ}}^{(2)},\ldots$ étant des fonctions de $f,f^{(1)},f^{(2)},\ldots ,$$p,p^{(1)},p^{(2)},\ldots$ que l’on déterminera par le même article ; on aura donc

$\int \mathrm {C} \Delta dp\sin \theta =$

$\mathrm {G} +\sin \theta \cos \theta \cos(it+\varpi )\left(\lambda +\lambda ^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +\lambda ^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)$

$+{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta \cos(2it+2\varpi )\left(\right.{\text{ʎ}}+{\text{ʎ}}^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +{\text{ʎ}}^{(r)}\left.\sin ^{2r}\theta \right).$

$\mathrm {G}$ étant une constante arbitraire qui peut être fonction de $\theta \,;$ pour la déterminer, on observera que nous avons supposé dans l’article précédent,

$\mathrm {B} \Delta =\Delta \int {\frac {\partial .\mathrm {C} \sin \theta }{\partial \theta }}d\varpi \,;$

d’où il suit que ${\frac {\partial \mathrm {G} }{\partial \theta }}$ doit être égal à la partie de l’expression de $\mathrm {B} \Delta$ qui