C’est sous ce point de vue que le calcul aux différences partielles peut être utile dans la théorie des suites, et nous allons en voir découler les principaux théorèmes sur cet objet, auxquels les géomètres ne sont parvenus que par des méthodes particulières.
II.
Supposons d’abord
égal à une fonction quelconque de
que nous désignerons par
![{\displaystyle \varphi \left(t+\alpha ,t_{1}+\alpha _{1},t_{2}+\alpha _{2},\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b0a5b778a3d5081cb02c2039db8edfff60e7be)
dans ce cas, la différence quelconque
ième de
prise par rapport à
et divisée par
est évidemment égale à cette même différence prise par rapport à
et divisée par
La même égalité a lieu entre les différences prises par rapport à
et
ou par rapport à
et
ou
d’où il suit que l’on a généralement
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{n+n_{1}+n_{2}+\ldots }u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha _{1}^{n_{1}}\partial \alpha _{2}^{n_{2}}\ldots }}={\frac {\partial ^{n+n_{1}+n_{2}+\ldots }u}{\partial t^{n}\partial t_{1}^{n_{1}}\partial t_{2}^{n_{2}}\ldots }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4dcf6da4a1f4fd99e7440b1539f3ef0ec9853dd)
En changeant dans le second membre de cette équation
en
ou, ce qui revient au même, en
on aura, par l’article précédent,
![{\displaystyle q_{n,n_{1},n_{2},\ldots }={\frac {\partial ^{n+n_{1}+n_{2}+\ldots }\varphi (t,t_{1},t_{2},\ldots )}{1.2.3\ldots n\partial t^{n}.1.2.3\ldots n_{1}\partial t_{1}^{n_{1}}.1.2.3\ldots n_{2}\partial t_{2}^{n_{2}}\ldots }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e477c38b0daf341585dd3243018ca806a59c04)
Si
est seulement fonction de
on aura
![{\displaystyle q_{n}={\frac {\partial ^{n}\varphi (t)}{1.2.3\ldots n\partial t^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a02a330177db0f6d09fec4ce549b9062574e7da)
partant
![{\displaystyle \varphi (t+\alpha )=\varphi (t)+\alpha {\frac {\partial \varphi (t)}{\partial t}}+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}{\frac {\partial ^{2}\varphi (t)}{\partial t^{2}}}+{\frac {\alpha ^{3}}{1.2.3}}{\frac {\partial ^{3}\varphi (t)}{\partial t^{3}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92e44e763665e68d55e3a20e6a45db3877c3a1c)
Cette suite a été donnée par Taylor dans l’Ouvrage qui a pour titre : Methodus incrementorum.