de l’article précédent, on laisse subsister
et que l’on détermine
de manière qu’il satisfasse à l’équation
![{\displaystyle {\frac {\partial \varpi }{\partial x}}=-{\frac {1}{2}}\alpha {\frac {\partial \varpi }{\partial y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c77323f514d5e35534da9a1f736faf278529ea6)
on aura
en fonction de
et de
et, si l’on considère
comme fonction de
et de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial z}{\partial x}}=&{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial \varpi }{\partial x}},\\{\frac {\partial z}{\partial y}}=&{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{1},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dd61c0ec48d65115f283e64d44fecc0091d7391)
étant le coefficient de
dans la différence de
considéré comme fonction de
et de
on aura ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}=&{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}{\frac {\partial \varpi ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial x^{2}}},\\{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}=&{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}{\frac {\partial \varpi }{\partial x}}{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}+\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial y}}\right)^{1}{\frac {\partial \varpi }{\partial x}}+{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial x\partial y}},\\{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}=&{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}{\frac {\partial \varpi ^{2}}{\partial y^{2}}}+\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right)^{1}+{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial y^{2}}}+2\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial y}}\right)^{1}{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0841899b93cee73ba437d86faf793fe27d2b529)
Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation (L) de l’article précédent, et que l’on considère que ϐ
et
on trouvera facilement qu’elle peut être mise sous cette forme
![{\displaystyle 0=\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right)^{1}+\gamma '\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{1}+\delta {\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+{\text{ϐ}}'z+\mathrm {T} '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f5decf9b8a39ee79c4a95a8ec8ccf81295d4dd)
ainsi les deux cas que nous discutons ici conduisent l’un et l’autre à une équation aux différences partielles de cette forme
(H)
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or on prouvera comme ci-dessus que, si l’intégrale de cette équation est possible en termes finis, que l’on suppose une des fonctions arbi-