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traires nulle, et que l’on représente par $\varphi (\mu )$ l’autre fonction arbitraire, on aura au moins par une suite infinie

$z=\mathrm {R+A\varphi (\mu )+A'\varphi _{1}(\mu )+A''} \varphi _{2}(\mu )+\ldots \,;$

en substituant cette valeur de $z$ dans l’équation précédente, on formera les suivantes :

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial x^{2}}}+\gamma {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+\delta {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+{\text{ϐ}}\mathrm {R+T} ,\\0=&\mathrm {A} {\frac {\partial \mu ^{2}}{\partial x^{2}}}\varphi ''(\mu ),\\0=&\left\{{\begin{aligned}2{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial x}}{\frac {\partial \mu }{\partial x}}&+\gamma \mathrm {A} {\frac {\partial \mu }{\partial x}}+\delta \mathrm {A} {\frac {\partial \mu }{\partial y}}\\&+\mathrm {A} {\frac {\partial ^{2}\mu }{\partial x^{2}}}+\mathrm {A} '{\frac {\partial \mu ^{2}}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}\right\}\varphi '(\mu ),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

La deuxième de ces équations donne ${\frac {\partial \mu }{\partial x}}=0\,;$ partant, $\mu$ est fonction de $y$ seul ; la troisième donne $\delta \mathrm {A} {\frac {\partial \mu }{\partial y}}=0\,;$ donc, si $\delta$ n’est pas nul, on a ${\frac {\partial \mu }{\partial y}}=0,$ en sorte que $\mu$ n’est point fonction de $y\,;$ ainsi $\mu$ n’étant fonction ni de $x,$ ni de $y,$ est nécessairement constant ; d’où il résulte que l’intégrale complète de l’équation (H) est impossible, excepté dans le cas de $\delta =0,$ ce qui réduit cette équation (H) à une équation aux différences ordinaires entre $z$ et $x,$ dont l’intégrale renfermera deux constantes arbitraires qui seront fonctions quelconques de $y.$

Il est d’autant plus remarquable que l’intégrale complète de l’équation (H) soit impossible, même par une suite infinie, dans le cas où $\delta$ n’est pas nul, que cette équation est susceptible, au moins dans un grand nombre de cas, d’une infinité d’intégrales particulières. Pour en donner un exemple fort simple, supposons $\gamma ,\delta$ et ϐ constants, et $\mathrm {T} =0.$ Si l’on fait $z=\mathrm {A} e^{mx+ny},\ e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, l’équation (H) donnera

$m^{2}+\gamma m+\delta n+{\text{ϐ}}=0\,;$