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Pour cela, nous ferons usage des naissances qui ont eu lieu depuis 1745 jusqu’en 1770, et dont on peut voir la liste dans nos Mémoires pour l’année 1771, page 857. En rassemblant toutes ces naissances, on trouve que, dans l’espace de ces vingt-six années, il est né à Paris $251527$ garçons et $241945$ filles, ce qui donne à très peu près ${\frac {105}{101}}$ pour le rapport des naissances des garçons à celles des filles. Cela posé, la probabilité que la possibilité de la naissance d’un garçon est égale ou moindre que ${\frac {1}{2}}$ est, par l’article précédent, égale à ${\frac {\int ydx}{k}},$ l’intégrale $\int ydx$ étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x={\frac {1}{2}}\,;$ d’ailleurs cette intégrale, prise depuis $x=0$ jusqu’à $x={\frac {1}{1+\mu }}-\theta$ et divisée par $k,$ est, par le même article, égale à

${\begin{aligned}&{\frac {\alpha ^{\frac {1}{2}}\mu ^{\frac {1}{2}}}{{\sqrt {2\pi }}(1+\mu )^{\frac {3}{2}}\theta }}\left[1-(1+\mu )\theta \right]^{p+1}\left(1+{\frac {1+\mu }{\mu }}\theta \right)^{q+1}\\\\&\qquad \times \left[1-\alpha {\frac {\left[12\mu ^{2}+(1+\mu )^{2}\left(1+\mu +\mu ^{2}\right)\theta ^{2}\right]}{12\mu (1+\mu )^{3}\theta ^{2}}}\right].\end{aligned}}$

En supposant donc ${\frac {1}{1+\mu }}-\theta ={\frac {1}{2}}$ et, par conséquent, $\theta ={\frac {1-\mu }{2(1+\mu )}},$ on a, pour l’expression de la probabilité que $x$ est égal ou moindre que ${\frac {1}{2}},$

${\frac {\sqrt {\cfrac {2\alpha \mu }{(1+\mu )\pi }}}{1-\mu }}\left({\frac {1+\mu }{2}}\right)^{p+1}\left({\frac {1+\mu }{2\mu }}\right)^{q+1}$

$\times \left[1-\alpha {\frac {48\mu ^{2}+3\mu (1-\mu )^{2}+(1-\mu )^{4}}{12\mu (1+\mu )(1-\mu )^{2}}}+\alpha ^{2}\ldots \right].$

Dans le cas présent,

${\begin{aligned}p=&251527,\\q=&241945,\\\mu =&{\frac {q}{p}}=0{,}9619047,\\\alpha =&{\frac {1}{p}}={\frac {1}{251527}},\end{aligned}}$