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et

$\mathrm {T} ^{(r+1)}={\frac {\partial \mathrm {T} ^{(r)}}{\partial \theta }}+\mathrm {T} ^{(r)}{\frac {a^{(r)}+2}{\varpi +\theta }}\,;$

l’équation aux différences finies $a^{(r+1)}=a^{(r)}+2$ donne, en l’intégrant,

$a^{(r)}=2r+\mathrm {A} ,$

$\mathrm {A}$ étant une constante arbitraire ; pour la déterminer, j’observe que, $r$ étant nul, on a

$a^{(r)}=a\,;$

donc

$\mathrm {A} =a\qquad$et$\qquad a^{(r)}=a+2r\,;$

l’équation

$b^{(r+1)}=b^{(r)}$

donne

$b^{(r)}=b,$

et l’équation

$c^{(r+1)}=a^{(r)}+b^{(r)}+c^{(r)}$

donne

$c^{(r+1)}-c^{(r)}=a+b+2r\,;$

en intégrant, on a

$c^{(r)}=\mathrm {A} +(a+b-1)r+r^{2},$

$\mathrm {A}$ étant une constante arbitraire ; or, en faisant $r=0,$ on a donc

$\mathrm {A} =c\qquad$et$\qquad c^{(r)}=c+(a+b-1)r+r^{2}.$

Pour que l’expression de $z$ soit possible en termes finis et délivrés du signe $\int ,$ par rapport à la fonction arbitraire $\varphi (\theta )$, il faut qu’en supposant $\mathrm {T} =0,$ et n’ayant égard qu’à la seule fonction arbitraire $\varphi (\varpi ),$ on ait $z^{(r+1)}=0,\ r$ étant zéro ou un nombre entier positif ; l’équation $(\sigma )$ donnera, dans ce cas,

$0=c^{(r)}+a^{(r)}-a^{(r)}b^{(r)}\,;$

en substituant au lieu de $a^{(r)},b^{(r)}$ et $c^{(r)}$ leurs valeurs, on aura

$0=a+c-ab+(1+a-b)r+r^{2}\,;$