et
![{\displaystyle \mathrm {T} ^{(r+1)}={\frac {\partial \mathrm {T} ^{(r)}}{\partial \theta }}+\mathrm {T} ^{(r)}{\frac {a^{(r)}+2}{\varpi +\theta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aeb84e34f07f2318922155f5d3138bebe1cbdf5)
l’équation aux différences finies
donne, en l’intégrant,
![{\displaystyle a^{(r)}=2r+\mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e2a75425961cd3520fda127e6e50427ff237ae)
étant une constante arbitraire ; pour la déterminer, j’observe que,
étant nul, on a
![{\displaystyle a^{(r)}=a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4355d73a305306b7d8e67f559e78abd3de8f7d15)
donc
![{\displaystyle \mathrm {A} =a\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19836b5ffe3a4165f8d9c4b1e8169a0a12e9781f)
et
![{\displaystyle \qquad a^{(r)}=a+2r\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072eefcc912e4cdf3f4c6612777a101952388e82)
l’équation
![{\displaystyle b^{(r+1)}=b^{(r)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f232f737a71c0d55dc49c4a402b7f2e4be6823)
donne
![{\displaystyle b^{(r)}=b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f5864f9d19eb7dc4b0bba7117c5bcb09ec55b1)
et l’équation
![{\displaystyle c^{(r+1)}=a^{(r)}+b^{(r)}+c^{(r)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3fefa76e81987966944bccb03045046e07f668)
donne
![{\displaystyle c^{(r+1)}-c^{(r)}=a+b+2r\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6996528b8df7f39b555237cf70af214f18c364)
en intégrant, on a
![{\displaystyle c^{(r)}=\mathrm {A} +(a+b-1)r+r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/722b4169593976eadebe65f4bb1877d0250ced40)
étant une constante arbitraire ; or, en faisant
on a donc
![{\displaystyle \mathrm {A} =c\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b069ea33fa45e0ba002cc55187af4c37c360b7)
et
![{\displaystyle \qquad c^{(r)}=c+(a+b-1)r+r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/217db55efc96142c1662dbe32fc27fbb76911643)
Pour que l’expression de
soit possible en termes finis et délivrés du signe
par rapport à la fonction arbitraire
, il faut qu’en supposant
et n’ayant égard qu’à la seule fonction arbitraire
on ait
étant zéro ou un nombre entier positif ; l’équation
donnera, dans ce cas,
![{\displaystyle 0=c^{(r)}+a^{(r)}-a^{(r)}b^{(r)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f74ff54a1700e3deffc80c7011c70edcec85797)
en substituant au lieu de
et
leurs valeurs, on aura
![{\displaystyle 0=a+c-ab+(1+a-b)r+r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5658b7118043ffe6c2ffb6a0b7ae742321c576)