Supposons d’abord que la quantité
ne soit pas nulle : en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {K} \ =&{\frac {{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {H} '}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\cfrac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \varpi }}+n{\cfrac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \theta }}+l\mathrm {H} '+{\cfrac {\partial \mathrm {H} }{\partial \varpi }}+n\mathrm {H} }{{\cfrac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \varpi }}+n\mathrm {H} '}}\\\mathrm {K} '=&{\frac {{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {H} }{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\cfrac {\partial \mathrm {H} }{\partial \varpi }}+n{\cfrac {\partial \mathrm {H} }{\partial \theta }}+l\mathrm {H} }{{\cfrac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \varpi }}+n\mathrm {H} '}}\\\mathrm {M} =&{\frac {\mathrm {L} }{{\cfrac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \varpi }}+n\mathrm {H} '}}\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18c591690c92bc40684651084742203fcf95ca7)
on aura
![{\displaystyle \int {\frac {\partial ^{2}\mathrm {C} }{\partial \theta ^{2}}}\varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {K} \int {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {K} '\int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/197b009db1016bc87c5c5afc8dc9b57d69147040)
![{\displaystyle =\mathrm {M} \varphi '''(\varpi )+\mathrm {M} '\varphi ''(\varpi )+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9fa5873d138c8a7f75ccc029d60e36f81e94914)
en différentiant cette équation par rapport à
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {C} }{\partial \theta ^{2}}}\varphi (\varpi )+{\frac {\partial \mathrm {K} }{\partial \varpi }}\int {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi \\&+\mathrm {K} {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )+{\frac {\partial \mathrm {K} '}{\partial \varpi }}\int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {K'C} \varphi (\varpi )=\mathrm {M} \varphi ^{\text{ıv}}(\varpi )+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6bcd9fe26035d2f4e59ac334a3e48e701ae469f)
Si
n’est pas nul, on aura
par une équation de cette forme
![{\displaystyle \int {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi =\mathrm {I} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {I} '\varphi ^{\text{ıv}}(\varpi )+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d60a2e42d0cb39bd93fcfb57f1aec74dc642ae4)
et l’expression de
sera ainsi réduite à ne renfermer plus qu’un seul terme affecté du signe
ce qui est contre l’hypothèse.
Si,
étant nul,
ne l’était pas, on aurait
en termes délivrés du signe
ce qui est encore contre l’hypothèse ; donc on a
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {K} }{\partial \varpi }}=0\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4813aae7b1ed9c8885e5df2747531374ee36a0)
et
![{\displaystyle \qquad {\frac {\partial \mathrm {K} '}{\partial \varpi }}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6636d62eb1a44ddd93d3c06c6787eaa88cecfecc)