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Supposons d’abord que la quantité ${\frac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \varpi }}+n\mathrm {H} '$ ne soit pas nulle : en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {K} \ =&{\frac {{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {H} '}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\cfrac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \varpi }}+n{\cfrac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \theta }}+l\mathrm {H} '+{\cfrac {\partial \mathrm {H} }{\partial \varpi }}+n\mathrm {H} }{{\cfrac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \varpi }}+n\mathrm {H} '}}\\\mathrm {K} '=&{\frac {{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {H} }{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\cfrac {\partial \mathrm {H} }{\partial \varpi }}+n{\cfrac {\partial \mathrm {H} }{\partial \theta }}+l\mathrm {H} }{{\cfrac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \varpi }}+n\mathrm {H} '}}\\\mathrm {M} =&{\frac {\mathrm {L} }{{\cfrac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \varpi }}+n\mathrm {H} '}}\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura

$\int {\frac {\partial ^{2}\mathrm {C} }{\partial \theta ^{2}}}\varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {K} \int {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {K} '\int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi$

$=\mathrm {M} \varphi '''(\varpi )+\mathrm {M} '\varphi ''(\varpi )+\ldots \,;$

en différentiant cette équation par rapport à $\varpi ,$ on aura

${\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {C} }{\partial \theta ^{2}}}\varphi (\varpi )+{\frac {\partial \mathrm {K} }{\partial \varpi }}\int {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi \\&+\mathrm {K} {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )+{\frac {\partial \mathrm {K} '}{\partial \varpi }}\int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {K'C} \varphi (\varpi )=\mathrm {M} \varphi ^{\text{ıv}}(\varpi )+\ldots .\end{aligned}}$

Si ${\frac {\partial \mathrm {K} }{\partial \varpi }}$ n’est pas nul, on aura $\int {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi$ par une équation de cette forme

$\int {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi =\mathrm {I} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {I} '\varphi ^{\text{ıv}}(\varpi )+\ldots ,$

et l’expression de $z$ sera ainsi réduite à ne renfermer plus qu’un seul terme affecté du signe $\int ,$ ce qui est contre l’hypothèse.

Si, ${\frac {\partial \mathrm {K} }{\partial \varpi }}$ étant nul, ${\frac {\partial \mathrm {K} '}{\partial \varpi }}$ ne l’était pas, on aurait $\int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi$ en termes délivrés du signe $\int ,$ ce qui est encore contre l’hypothèse ; donc on a

${\frac {\partial \mathrm {K} }{\partial \varpi }}=0\qquad$et$\qquad {\frac {\partial \mathrm {K} '}{\partial \varpi }}=0\,;$