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partant, $\mathrm {K}$ et $\mathrm {K} '$ sont fonctions de $\theta$ seul ; on aura ainsi

$\int \varphi (\varpi )d\varpi \left({\frac {\partial ^{2}\mathrm {C} }{\partial \theta ^{2}}}+\mathrm {K} {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}+\mathrm {K'C} \right)=\mathrm {M} \varphi '''(\varpi )+\ldots .$

En multipliant cette équation par $\mu d\theta ,\ \mu$ étant fonction de $\theta$ seul, on aura

$(\lambda '')\quad \int \varphi (\varpi )d\varpi \left(\mu {\frac {\partial ^{2}\mathrm {C} }{\partial \theta ^{2}}}d\theta +\mu \mathrm {K} {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}d\theta +\mu \mathrm {K'C} d\theta \right)$

$=\mu \mathrm {M} \varphi '''(\varpi )d\theta +\ldots \,;$

or il est toujours possible, comme l’on sait, de prendre $\mu$ tel que

$\mu {\frac {\partial ^{2}\mathrm {C} }{\partial \theta ^{2}}}d\theta +\mu \mathrm {K} {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}d\theta +\mu \mathrm {K'C} d\theta$

soit une différentielle exacte et égale à $d\left(\mu {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}+\alpha \mathrm {C} \right),\ \alpha$ étant fonction de $\theta$ seul ; il suffit pour cela de déterminer $\mu$ et $\alpha ,$ de manière que l’on ait

$\mathrm {K} \mu ={\frac {\partial \mu }{\partial \theta }}+\alpha \qquad$et$\qquad \mathrm {K} '\mu ={\frac {\partial \alpha }{\partial \theta }}\,;$

si l’on intègre l’équation $(\lambda '')$ par rapport à $\theta ,$ on aura

$\int \varphi (\varpi )d\varpi \left(\mu {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}+\alpha \mathrm {C} \right)=\varphi '''(\varpi )\int \mathrm {M} \mu d\theta +\ldots ,$

donc

$\int {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi =-{\frac {\alpha }{\mu }}\int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\varphi '''(\varpi ){\frac {1}{\mu }}\int \mathrm {M} \mu d\theta +\ldots \,;$

l’expression de $z$ se trouvera donc ainsi réduite à ne renfermer qu’un seul terme affecté du signe $\int ,$ ce qui est contre l’hypothèse.

Supposons maintenant que l’on ait

$0={\frac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \varpi }}+n\mathrm {H} '\,;$

on aura pareillement

$0={\frac {\partial ^{2}\mathrm {H} '}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \theta }}+l\mathrm {H} '+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \varpi }}+n\mathrm {H}$

et

$0={\frac {\partial ^{2}\mathrm {H} }{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \theta }}+l\mathrm {H} ,$