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car il est visible que, si Tune ou l’autre de ces équations n’avait pas lieu, ou pourrait, à l’aide de l’équation (G), réduire la valeur de $z$ à ne renfermer qu’un seul terme affecté du signe $\int ,$ ce qui ne se peut.

Présentement, si l’on a les trois équations

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \theta }}+n\mathrm {H} '\\0=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {H} '}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \theta }}+l\mathrm {H} '+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \varpi }}+n\mathrm {H} ,\\0=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {H} }{\partial \varpi \partial \theta }}\,+m{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \varpi }}\ +n{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \theta }}+l\mathrm {H} ,\end{aligned}}$

il est clair que l’équation

$z=\mathrm {H} '\psi (\theta )+\mathrm {H} \psi _{1}(\theta )$

satisfera à l’équation (Z) ; donc, toutes les fois que l’intégrale de l’équation (Z), considérée par rapport à la fonction arbitraire $\varphi (\varpi ),$ est susceptible de cette forme

$z=\mathrm {A} \varphi (\varpi )+\mathrm {A} '\varphi _{1}(\varpi )+\ldots +\mathrm {B} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {B} '\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi ,$

son intégrale considérée par rapport à la fonction arbitraire $\psi (\theta )$ est susceptible de cette forme

$z=\mathrm {H} \psi (\theta )+\mathrm {H} '\psi _{1}(\theta )\,;$

elle est ainsi délivrée du signe $\int .$

En suivant ce raisonnement, on prouvera généralement que si l’expression de $z,$ considérée par rapport à $\varphi (\varpi ),$ est de cette forme

${\begin{aligned}z=\mathrm {A} \varphi (\varpi )&+\mathrm {A} '\varphi '(\varpi )+\ldots +\mathrm {B} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi \\&+\mathrm {B} '\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi ++\mathrm {B} ''\int \mathrm {C} ''\varphi (\varpi )d\varpi +\ldots ,\end{aligned}}$

cette même expression, considérée par rapport à la fonction arbitraire $\psi (\theta ),$ est de la forme suivante :

$z=\mathrm {H} \psi (\theta )+\mathrm {H} '\psi _{1}(\theta )+\mathrm {H} ''\psi _{2}(\theta )+\ldots .$