car il est visible que, si Tune ou l’autre de ces équations n’avait pas lieu, ou pourrait, à l’aide de l’équation (G), réduire la valeur de
à ne renfermer qu’un seul terme affecté du signe
ce qui ne se peut.
Présentement, si l’on a les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \theta }}+n\mathrm {H} '\\0=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {H} '}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \theta }}+l\mathrm {H} '+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \varpi }}+n\mathrm {H} ,\\0=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {H} }{\partial \varpi \partial \theta }}\,+m{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \varpi }}\ +n{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \theta }}+l\mathrm {H} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b6160bfe86a98307ec299140c1b66966425298)
il est clair que l’équation
![{\displaystyle z=\mathrm {H} '\psi (\theta )+\mathrm {H} \psi _{1}(\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80e29436faa90d6dc1232e24f5c6143f80aef61)
satisfera à l’équation (Z) ; donc, toutes les fois que l’intégrale de l’équation (Z), considérée par rapport à la fonction arbitraire
est susceptible de cette forme
![{\displaystyle z=\mathrm {A} \varphi (\varpi )+\mathrm {A} '\varphi _{1}(\varpi )+\ldots +\mathrm {B} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {B} '\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04c9c44ecf84b8b30b5cd9f28e4e4a43eea48d3)
son intégrale considérée par rapport à la fonction arbitraire
est susceptible de cette forme
![{\displaystyle z=\mathrm {H} \psi (\theta )+\mathrm {H} '\psi _{1}(\theta )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a7015ab6956109fddd30f6ec89976c772d3be9)
elle est ainsi délivrée du signe ![{\displaystyle \int .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99946faf587af3958c69fffda908211b3c855c6d)
En suivant ce raisonnement, on prouvera généralement que si l’expression de
considérée par rapport à
est de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}z=\mathrm {A} \varphi (\varpi )&+\mathrm {A} '\varphi '(\varpi )+\ldots +\mathrm {B} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi \\&+\mathrm {B} '\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi ++\mathrm {B} ''\int \mathrm {C} ''\varphi (\varpi )d\varpi +\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05520c466e484acf7896f8858c3e44389b53c620)
cette même expression, considérée par rapport à la fonction arbitraire
est de la forme suivante :
![{\displaystyle z=\mathrm {H} \psi (\theta )+\mathrm {H} '\psi _{1}(\theta )+\mathrm {H} ''\psi _{2}(\theta )+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86326951738a04921db50dcc4f18f048cbcebfc)