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XII.

Le raisonnement précédent peut s’appliquer encore au cas où l’expression de $z$ renferme des termes nécessairement affectés du double signe $\iint ,$ par rapport aux deux fonctions arbitraires $\varphi (\varpi )$ et $\psi (\theta )\,;$ pour le faire voir d’une manière fort simple, ne considérons que la seule fonction arbitraire $\varphi (\varpi ),$ en sorte que l’on ait

${\begin{aligned}z=&\mathrm {A\varphi (\varpi )+A'\varphi _{1}(\varpi )+A''} \varphi _{2}(\varpi )+\ldots \\&+\mathrm {B} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {B} '\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi +\ldots \\&+\mathrm {D} \int \mathrm {E} d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {D} '\int \mathrm {E} 'd\theta \int \mathrm {F} '\varphi (\varpi )d\varpi +\ldots .\end{aligned}}$

Supposons qu’il n’y ait qu’un seul terme affecté du double signe $\iint$ on aura

${\begin{aligned}z=&\mathrm {A\varphi (\varpi )+A'\varphi _{1}(\varpi )} +\ldots \\&+\mathrm {B} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {B} '\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi +\ldots +\mathrm {D} \int \mathrm {E} d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi .\end{aligned}}$

En substituant cette valeur de $z$ dans l’équation (Z), on aura une équation de cette forme

(R)

$\left\{{\begin{aligned}0=&\left({\frac {\partial ^{2}\mathrm {D} }{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}+l\mathrm {D} \right)\int \mathrm {E} d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi \\&+\left({\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}+m\mathrm {D} \right)\int {\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial \varpi }}d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi \\&+\mathrm {H} \int \mathrm {L} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {H} '\int \mathrm {L} '\varphi (\varpi )d\varpi +\ldots \\&+\mathrm {M} \varphi '(\varpi )+\mathrm {M} '\varphi (\varpi )+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Si la quantité ${\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}+m\mathrm {D}$ n’est pas nulle, en faisant

$\mathrm {K} ={\frac {{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {D} }{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\cfrac {\partial \mathrm {D} }{\partial \varpi }}+n{\cfrac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}+l\mathrm {D} }{{\cfrac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}+m\mathrm {D} }},$