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${\begin{aligned}\mathrm {P} \ =&-{\frac {\mathrm {H} }{{\cfrac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}+m\mathrm {D} }},\\\mathrm {P} '=&-{\frac {\mathrm {H} '}{{\cfrac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}+m\mathrm {D} }},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {N} =&{\frac {\mathrm {M} }{{\cfrac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}+m\mathrm {D} }},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

on aura

$\int {\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial \varpi }}d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {K} \int \mathrm {E} d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi$

$=\mathrm {P} \int \mathrm {L} \varphi (\varpi )d\varpi +\ldots +\mathrm {N} \varphi '(\varpi )+\ldots \,;$

cette équation différenciée par rapport à $\theta$ donne

${\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial \varpi }}\int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi +{\frac {\partial \mathrm {K} }{\partial \theta }}\int \mathrm {E} d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {KE} \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi$

$={\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial \theta }}\int \mathrm {L} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {P} \int {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi +\ldots +{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial \theta }}\varphi '(\varpi )+\ldots .$

Si ${\frac {\partial \mathrm {K} }{\partial \theta }}$ n’était pas nul, il est clair que $\int \mathrm {E} d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi$ serait donné en termes sans $\int$ et en termes affectés du simple signe $\int ,$ ce qui est contre l’hypothèse ; on a donc

${\frac {\partial \mathrm {K} }{\partial \theta }},$

partant $\mathrm {K}$ est fonction de $\varpi$ seul ; on aura, cela posé,

$\int \left({\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial \varpi }}+\mathrm {KE} \right)d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi =\mathrm {P} \int \mathrm {L} \varphi (\varpi )d\varpi +\ldots +\mathrm {N} \varphi '(\varpi )+\ldots \,;$

en multipliant cette équation par $e^{\int \mathrm {K} d\varpi }d\varpi ,$ elle devient

$\int \left({\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial \varpi }}+\mathrm {KE} \right)e^{\int \mathrm {K} d\varpi }d\varpi d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi$

$=\mathrm {P} e^{\int \mathrm {K} d\varpi }d\varpi \int \mathrm {L} \varphi (\varpi )d\varpi +\ldots +\mathrm {N} e^{\int \mathrm {K} d\varpi }\varphi '(\varpi )d\varpi +\ldots \,;$