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en intégrant par rapport à $\varpi ,$ et faisant

$\mathrm {V} =\int \mathrm {E} \mathrm {F} d\theta ,\qquad \mathrm {R} =\int \mathrm {P} e^{\int \mathrm {K} d\varpi }d\varpi ,\qquad \ldots ,$

on a

$\int e^{\int \mathrm {K} d\varpi }\mathrm {E} d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi -\int \mathrm {V} e^{\int \mathrm {K} d\varpi }\varphi (\varpi )d\varpi$

$=\mathrm {R} \int \mathrm {L} \varphi (\varpi )d\varpi -\int \mathrm {RL} \varphi (\varpi )d\varpi +\int \mathrm {N} e^{\int \mathrm {K} d\varpi }\varphi (\varpi )d\varpi$

Donc

$\int \mathrm {E} d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi ={\frac {1}{e^{\int \mathrm {K} d\varpi }}}\int \mathrm {V} e^{\int \mathrm {K} d\varpi }\varphi (\varpi )d\varpi +{\frac {\mathrm {R} }{e^{\int \mathrm {K} d\varpi }}}\int \mathrm {L} \varphi (\varpi )d\varpi +\ldots ,$

d’où l’on voit que $\int \mathrm {E} d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi$ est donné en termes affectés du simple signe $\int ,$ ce qui ne se peut. Il résulte de là que, dans l’équation

$0={\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}+m\mathrm {D} ,$

mais on doit pareillement avoir

$0={\frac {\partial ^{2}\mathrm {D} }{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}+l\mathrm {D} ,$

sans quoi $\int \mathrm {E} d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi$ serait donné en termes affectés du simple signe $\int \,;$ présentement, si l’on a les deux équations

$0={\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}+m\mathrm {D}$

et

$0={\frac {\partial ^{2}\mathrm {D} }{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}+l\mathrm {D} ,$

il est clair que l’équation

$z=\mathrm {D} \varphi (\varpi )$

satisfera à l’équation différentielle (Z). On voit donc que le raisonnement de l’article $\mathrm {X}$ s’applique également au cas dans lequel l’expression de $z$ renferme un terme affecté du simple signe $\int \,;$ on prouvera, par un raisonnement analogue à celui de l’article XI, que, si l’expression de $z$ renferme deux termes nécessairement affectés du double signe $\iint ,$ l’équation

$z=\mathrm {D} \varphi (\varpi )+\mathrm {D} '\varphi (\varpi )$