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satisfera à l’équation différentielle (Z). Et comme les mêmes raisonnements ont lieu, quel que soit le nombre des termes affectés du signe $\int ,$ et quel que soit le nombre de ces signes dans chaque terme, on doit en conclure généralement que, toutes les fois que l’intégrale complète de l’équation (Z) est possible en termes finis, elle est nécessairement débarrassée du signe $\int ,$ par rapport à l’une ou l’autre des fonctions arbitraires $\varphi (\varpi )$ ou $\psi (\theta )$ et, dans ce cas, on peut toujours obtenir cette intégrale, par la méthode de l’article VII. On voit ainsi que cette méthode donne généralement les intégrales complètes de équations linéaires aux différences partielles, lorsqu’elles sont possibles en termes finis ; ayant une fois ces intégrales, il ne peut rester de difficulté que dans la détermination des fonctions arbitraires ; or la méthode de l’article VII a encore l’avantage de donner un moyen très simple pour cet objet, dans un cas très général et qui paraît être celui de presque tous les problèmes physico-mathématiques.

XIII.

L’équation

(L)

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+\alpha {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}+{\text{ϐ}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}+\gamma {\frac {\partial z}{\partial x}}+\delta {\frac {\partial z}{\partial y}}+\lambda z+\mathrm {T}$

étant donnée, son intégrale complète, si elle en est susceptible, renfermera deux fonctions arbitraires $\varphi (\varpi )$ et $\psi (\theta ),$ de manière que l’une ou l’autre de ces fonctions y existera sans être affectée du signe $\int \,;$ supposons que ce soit $\varphi (\varpi ).$ Pour déterminer maintenant la nature des fonctions $\varphi (\varpi )$ et $\psi (\theta ),$ supposons que l’on ait les valeurs de $z$ et ${\frac {\partial z}{\partial y}}$ ou de $z$ et ${\frac {\partial z}{\partial x}}$ à l’origine de l’intégrale ; cette origine est déterminée, ou parce que, à ce point, l’une des deux variables $x$ ou $y$ est constante ou nulle, ou parce que l’une est donnée en fonction de l’autre ; supposons, conséquemment, que l’on ait à l’origine de l’intégrale

$y=$$\Gamma$$(x),\qquad z=\Pi (x)\qquad$et$\qquad {\frac {\partial z}{\partial x}}=\Gamma (x)$

$\Gamma$$(x),\Pi (x),$ et $\Gamma (x)$ seront des fonctions connues de $x.$