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Si l’on transforme l’équation (L) dans la suivante

(Z)

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial z}{\partial \theta }}+lz+\mathrm {T} ,$

il est clair : 1^o que, $\varpi$ et $\theta$ étant donnés en fonction de $x$ et de $y,$ l’équation donnée entre $x$ et $y$ à l’origine de l’intégrale en donnera une entre $\varpi$ et $\theta$ à cette origine ; 2^o que l’équation

$z=\Pi (x)$

se changera dans celle-ci

$z=\Sigma (\theta ),$

$\Sigma (\theta )$ étant une fonction connue de $\theta \,;$ on aura donc à l’origine de l’intégrale

$dz=d\theta \Sigma '(\theta ),$

$\Sigma '(\theta )$ étant la différence de $\Sigma (\theta )$ divisée par $d\theta \,;$ mais on a

$dz={\frac {\partial z}{\partial \theta }}d\theta +{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}d\varpi ,$

et l’équation entre $\varpi$ et $\theta$ donne

$d\varpi =\mathrm {H} d\theta ,$

$\mathrm {H}$ étant une fonction de $\theta \,;$ donc

$dz=d\theta \left({\frac {\partial z}{\partial \theta }}+\mathrm {H} {\frac {\partial z}{\partial \varpi }}\right)=d\theta \Sigma '(\theta )$

ou

$\Sigma '(\theta )={\frac {\partial z}{\partial \theta }}+\mathrm {H} {\frac {\partial z}{\partial \varpi }}\,;$

3^o que l’équation

${\frac {\partial z}{\partial y}}=\Gamma (x)$

se changera dans celle-ci

${\frac {\partial z}{\partial y}}=\Delta (\theta )\,;$

or on a

${\frac {\partial z}{\partial y}}={\frac {\partial z}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial y}}+{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}\,;$