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d’ailleurs ${\frac {\partial \theta }{\partial y}}$ et ${\frac {\partial \varpi }{\partial y}}$ étant connus en fonctions de $x$ et de $y$ seront donnés en fonctions de $\theta ,$ à l’origine de l’intégrale ; soit

${\frac {\partial \theta }{\partial y}}=\mathrm {M} \qquad$et$\qquad {\frac {\partial \varpi }{\partial y}}=\mathrm {N} ,$

$\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant fonctions de $\theta ,$ on aura

$\Delta (\theta )=\mathrm {M} {\frac {\partial z}{\partial \theta }}+\mathrm {N} {\frac {\partial z}{\partial \varpi }}\,;$

au moyen de cette équation et de celle-ci

$\Sigma '(\theta )={\frac {\partial z}{\partial \theta }}+\mathrm {H} {\frac {\partial z}{\partial \varpi }},$

on aura ${\frac {\partial z}{\partial \theta }}$ et ${\frac {\partial z}{\partial \varpi }}$ en fonctions de $\theta ,$ à l’origine de l’intégrale.

Présentement, si l’on suit le procédé de l’article VII, en faisant

$z^{(1)}={\frac {\partial z}{\partial \theta }}+mz,$

on transformera l’équation (Z) dans celle-ci

(Z’)

$0={\frac {\partial ^{2}z^{(1)}}{\partial \varpi \partial \theta }}+m^{(1)}{\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \theta }}+l^{(1)}z^{(1)}+\mathrm {T} ^{(1)}\,;$

or, connaissant ${\frac {\partial z}{\partial \theta }}+mz$ en fonction de $\theta ,$ à l’origine de l’intégrale, si l’on nomme $\mathrm {K}$ cette fonction, on aura

$z^{(1)}=\mathrm {K}$

à cette origine ; on a ensuite

${\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \theta }}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \theta ^{2}}}+m{\frac {\partial z}{\partial \theta }}+z{\frac {\partial m}{\partial \theta }}\,;$

ainsi, pour avoir ${\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \theta }}$ à l’origine de l’intégrale, il ne s’agit plus que d’avoir ${\frac {\partial ^{2}z}{\partial \theta ^{2}}}$ à cette origine ; or on a

$d{\frac {\partial z}{\partial \theta }}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \theta ^{2}}}d\theta +{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}d\varpi =\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial \theta ^{2}}}+\mathrm {H} {\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}\right)d\theta \,;$