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mais, si l’on nomme $\mathrm {P}$ la valeur de ${\frac {\partial z}{\partial \theta }}$ à l’origine de l’intégrale, $\mathrm {P}$ étant fonction connue de $\theta ,$ on aura

$d{\frac {\partial z}{\partial \theta }}=d\theta {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial \theta }}\,;$

donc

${\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial \theta }}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \theta ^{2}}}+\mathrm {H} {\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}\,;$

l’équation (Z) donnera, ${\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}$ en fonction de $\theta ,$ à l’origine de l’intégrale ; on aura ainsi à ce point la valeur de ${\frac {\partial ^{2}z}{\partial \theta ^{2}}},$ et parlant aussi celle de ${\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \theta }}$ en fonction de $\theta .$ L’équation $z^{(1)}=\mathrm {K}$ donne

$dz^{(1)}={\frac {\partial \mathrm {K} }{\partial \theta }}d\theta \,;$

or on a

$dz^{(1)}={\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \theta }}d\theta +{\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }}d\varpi ={\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \theta }}d\theta +\mathrm {H} {\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }}d\theta \,;$

donc

${\frac {\partial \mathrm {K} }{\partial \theta }}={\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \theta }}+\mathrm {H} {\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }},$

d’où l’on aura ${\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }}$ en fonction de $\theta \,;$ on aura, par conséquent, $z^{(1)},{\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }}$ et ${\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \theta }}$ en fonction de $\theta ,$ à l’origine de l’intégrale.

Si l’on fait ensuite

$z^{(2)}={\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \theta }}+m^{(1)}z^{(1)},$

on transformera l’équation (Z’) dans la suivante

(Z")

$0={\frac {\partial ^{2}z^{(2)}}{\partial \varpi \partial \theta }}+m^{(2)}{\frac {\partial z^{(2)}}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial z^{(2)}}{\partial \theta }}+l^{(2)}z^{(2)}+\mathrm {T} ^{(2)}\,;$

et l’on aura, comme ci-dessus, $z^{(2)},{\frac {\partial z^{(2)}}{\partial \varpi }}$ et ${\frac {\partial z^{(2)}}{\partial \theta }}$ en fonctions de $\theta$ à l’origine de l’intégrale ; en continuant ainsi, on aura les valeurs de $z^{(r)}$ et de ${\frac {\partial z^{(r)}}{\partial \theta }}$ en fonctions de $\theta \,;$ soit

$z^{(r)}=\nabla (\theta ),$