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cette action, décomposée suivant les trois droites $\mathrm {MC,MV}$ et $\mathrm {MQ} ,$ donnera :

1^o Suivant $\mathrm {MC} ,$ une action égale à

$r\sin ^{2}p\sin qdpdq\,;$

2^o Suivant $\mathrm {MV} ,$ une action égale à

$-r\sin ^{2}p\cos qdpdq\,;$

3^o Suivant $\mathrm {MQ} ,$ une action égale à

$r\sin p\cos pdpdq.$

On aura donc pour l’action entière du sphéroïde :

1^o Suivant $\mathrm {MC}$

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }r\sin ^{2}p\sin qdpdq\,:$

je nomme $\mathrm {A}$ cette action ;

2^o Suivant $\mathrm {MV}$

$-\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }r\sin ^{2}p\cos qdpdq\,:$

je nomme $\mathrm {B}$ cette action ;

3^o Suivant $\mathrm {MQ}$

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }r\sin p\cos qdpdq\,:$

je nomme $\mathrm {C}$ cette action.

Il ne s’agit plus maintenant que de connaître $r$ en fonction de $p$ et de $q.$

Pour cela, imaginons que le solide soit infiniment peu différent d’une sphère dont $\mathrm {C}$ soit le centre et $\mathrm {CA}$ le rayon. Soient $\mathrm {CA} =a$ et l’angle $\mathrm {MCA} =\theta \,;$ concevons ensuite un plan fixe $\mathrm {ANB} ,$ et soit $\varpi$ l’angle qu’il forme avec le plan $\mathrm {AMB} ,$ angle que je nommerai longitude du point $\mathrm {M} .$ Cela posé, $\mathrm {MC}$ ne diffère, par l’hypothèse, de $\mathrm {AC}$ que d’une quantité infiniment petite ; soit $\alpha a\mu$ cette quantité, en sorte que l’on ait

$\mathrm {MC} =\alpha (1+\alpha \mu ),$