Lorsque les forces
et
sont produites par les attractions de tant de corps que l’on voudra, placés près ou loin du sphéroïde, mais tels cependant : 1o que leur action sur le sphéroïde altère infiniment peu sa figure ; 2o qu’ils participent au mouvement de rotation du sphéroïde, autrement il ne pourrait jamais y avoir équilibre, ou bien s’ils ne tournent point avec le sphéroïde, qu’ils soient en nombre infini, et distribués également et circulairement autour du sphéroïde, comme il est très naturel de présumer que toutes les parties de l’anneau de Saturne sont disposées autour de cette planète ;
sera toujours dans ce cas une différence exacte ; car, soient
un de ces corps,
sa distance au point
et
sa distance au point
peut être considéré comme fonction de
et du rayon
que je nomme
présentement, l’action de
sur
est
cette action, décomposée suivant
est
cette même action décomposée suivant
est
enfin cette action décomposée suivant
est
Pour être en droit de regarder le centre
comme immobile, il faut retrancher des forces précédentes l’action de
sur
décomposée suivant les mêmes lignes, et, pour avoir cette action, il suffit de faire
infiniment petit dans les quantités précédentes ; soient
ce que devient
dans ce cas, et
ce que devient
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \mathrm {M} =&{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}s}}{\frac {\partial r}{\partial \theta }}-{\frac {\mathrm {S} }{r'^{2}s'}}{\frac {\partial r'}{\partial \theta }},\\\alpha \mathrm {N} =&{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}s\sin \theta }}{\frac {\partial r}{\partial \varpi }}-{\frac {\mathrm {S} }{r'^{2}s'\sin \theta }}{\frac {\partial r'}{\partial \varpi }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee0396d0be3c13bc382b046969b6a6fd6d6f4e7)
et
![{\displaystyle \alpha \mathrm {R} ={\frac {\mathrm {S} }{r'^{2}}}{\frac {\partial r'}{\partial s'}}-{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44f7c969374e12ea81b18c8f9b355cf6776e8b5)
partant
![{\displaystyle \alpha \mathrm {M} d\theta +\alpha \mathrm {N} \sin \theta d\varpi ={\frac {\mathrm {S} }{r^{2}s}}dr-{\frac {\mathrm {S} }{r'^{2}s'}}dr',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ef054c72465ca6fd087b644a0f6f9d5a426295)
en ne considérant que
et
de variables ; on aura donc
![{\displaystyle \mathrm {P=P'} +{\frac {5}{4}}\alpha f\cos ^{2}\theta +{\frac {\mathrm {S} }{2rs}}-{\frac {\mathrm {S} }{2r's'}}+{\frac {\mathrm {S} }{r'^{2}}}{\frac {\partial r'}{\partial s'}}-{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial s}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e9587111941c849398c442aa8f7243874163a6)