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Lorsque les forces $\alpha \mathrm {M} ,\alpha \mathrm {N}$ et $\alpha \mathrm {R}$ sont produites par les attractions de tant de corps que l’on voudra, placés près ou loin du sphéroïde, mais tels cependant : 1^o que leur action sur le sphéroïde altère infiniment peu sa figure ; 2^o qu’ils participent au mouvement de rotation du sphéroïde, autrement il ne pourrait jamais y avoir équilibre, ou bien s’ils ne tournent point avec le sphéroïde, qu’ils soient en nombre infini, et distribués également et circulairement autour du sphéroïde, comme il est très naturel de présumer que toutes les parties de l’anneau de Saturne sont disposées autour de cette planète ; $\mathrm {M} d\theta +\mathrm {N} d\varpi \sin \theta$ sera toujours dans ce cas une différence exacte ; car, soient $\mathrm {S}$ un de ces corps, $r$ sa distance au point $\mathrm {M} ,$ et $h$ sa distance au point $\mathrm {C} \,;\ r$ peut être considéré comme fonction de $\theta ,\varpi$ et du rayon $\mathrm {CM} ,$ que je nomme $s\,;$ présentement, l’action de $\mathrm {S}$ sur $\mathrm {M}$ est ${\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}\,;$ cette action, décomposée suivant $\mathrm {MV}$ est ${\frac {\mathrm {S} }{r^{2}s}}{\frac {\partial r}{\partial \theta }}\,;$ cette même action décomposée suivant $\mathrm {MQ}$ est ${\frac {\mathrm {S} }{r^{2}s\sin \theta }}{\frac {\partial r}{\partial \varpi }}\,;$ enfin cette action décomposée suivant $\mathrm {MC}$ est $-{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial s}}.$ Pour être en droit de regarder le centre $\mathrm {C}$ comme immobile, il faut retrancher des forces précédentes l’action de $\mathrm {S}$ sur $\mathrm {C} ,$ décomposée suivant les mêmes lignes, et, pour avoir cette action, il suffit de faire $s$ infiniment petit dans les quantités précédentes ; soient $r'$ ce que devient $r$ dans ce cas, et $s'$ ce que devient $s,$ on aura

${\begin{aligned}\alpha \mathrm {M} =&{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}s}}{\frac {\partial r}{\partial \theta }}-{\frac {\mathrm {S} }{r'^{2}s'}}{\frac {\partial r'}{\partial \theta }},\\\alpha \mathrm {N} =&{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}s\sin \theta }}{\frac {\partial r}{\partial \varpi }}-{\frac {\mathrm {S} }{r'^{2}s'\sin \theta }}{\frac {\partial r'}{\partial \varpi }}\end{aligned}}$

et

$\alpha \mathrm {R} ={\frac {\mathrm {S} }{r'^{2}}}{\frac {\partial r'}{\partial s'}}-{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial s}}\,;$

partant

$\alpha \mathrm {M} d\theta +\alpha \mathrm {N} \sin \theta d\varpi ={\frac {\mathrm {S} }{r^{2}s}}dr-{\frac {\mathrm {S} }{r'^{2}s'}}dr',$

en ne considérant que $\varpi$ et $\theta$ de variables ; on aura donc

$\mathrm {P=P'} +{\frac {5}{4}}\alpha f\cos ^{2}\theta +{\frac {\mathrm {S} }{2rs}}-{\frac {\mathrm {S} }{2r's'}}+{\frac {\mathrm {S} }{r'^{2}}}{\frac {\partial r'}{\partial s'}}-{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial s}}.$