Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/100

84

CHAPITRE V.

intervalle $\delta _{2}$ de longueur incommensurable, de milieu $x_{\alpha _{2}}$ et n’empiétant pas sur $\delta _{1}$. Si $x_{\alpha _{3}}$ est le premier des $x_{i}$ qui ne fait partie ni de $\delta _{1}$, ni de $\delta _{2}$, $x_{\alpha _{3}}$ est le milieu d’un intervalle incommensurable n’empiétant ni sur $\delta _{1}$, ni sur $\delta _{2}$, et ainsi de suite.

La fonction $f(x)$, égale à la somme des longueurs des intervalles $\delta$ et des parties d’intervalles $\delta$, compris entre 0 et $x$, est une fonction continue croissante de $x$, qui admet +1 comme dérivée pour toutes les valeurs rationnelles de $x$. Et cependant cette fonction n’est pas nécessairement de la forme $x+{\text{const.}}$, puisque ${f(+\infty )-f(0)}$ est la somme des longueurs des $\delta$, somme qui a telle valeur positive que l’on veut.

La fonction continue ${f(x)-1}$ n’est pas constante et dans tout intervalle il existe des points où sa dérivée est nulle.

C’est à l’occasion d’une fonction dont la dérivée s’annule dans tout intervalle que Ludwig Scheeffer a entrepris ses recherches sur la détermination d’une fonction par ses nombres dérivés.

Comme fonctions dont la dérivée s’annule dans tout intervalle, nous pouvons encore citer la fonction $\varphi (x)$ (p. 13), la fonction $\xi (x)$ (p. 56).

La démonstration précédente, inspirée de certaines méthodes de démonstration du théorème des accroissements finis ou de la formule de Taylor, est assez artificielle, en voici une autre :

Les deux fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ ayant même $\Lambda _{d}$ en tout point, sauf peut-être aux points de $\mathrm {D}$, la fonction ${f(x)=f_{1}-f_{2}}$ a, en tout point n’appartenant pas à $\mathrm {D}$, un $\Lambda _{d}$ positif ou nul et un $\lambda _{d}$ négatif ou nul. Si $\alpha$ est un tel point, faisons-lui correspondre le plus grand intervalle ${(\alpha ,\alpha +h)}$ tel que l’on ait

$f(\alpha +h)-f(\alpha )<\varepsilon h$.

Supposons les points de $\mathrm {D}$ rangés en suite simplement infinie, $x_{1}$, $x_{2}$, …. À $x_{n}$ faisons correspondre le plus grand intervalle ${(x_{n},x'_{n})}$ tel que l’on ait

$f(x'_{n})-f(x_{n})<{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}$.

Chaque point de ${(a,b)}$ est maintenant l’origine d’un intervalle $\delta$ attaché à ce point ; nous pouvons couvrir ${(a,b)}$, à partir de $a$, à l’aide d’une chaîne d’intervalles $\delta$ (p. 67). Servons-nous de ces