nuité est réductible, mais il se peut aussi qu’il soit indéterminé. Il en est ainsi lorsque l’ensemble des points de discontinuité contient un ensemble parfait ; nous avons appris (p. 13) à former une fonction continue non partout constante, mais constante dans tout intervalle contigu à ; cette fonction, ajoutée à une fonction solution du problème proposé, donne une nouvelle solution de ce problème.
Ainsi notre problème comprend comme cas particulier le problème de l’intégration indéfinie riemannienne, mais il est plus vaste que ce dernier problème.
Proposons-nous maintenant de trouver une fonction à nombres dérivés bornés qui admette une fonction bornée donnée comme dérivée en tous les points où est continue.
Ce nouveau problème est toujours possible et admet encore pour solutions les deux intégrales de ; mais, si est intégrable, il est déterminé, car la dérivée de la fonction à nombres dérivés bornés cherchée est connue partout, sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle. Ce problème n’est donc déterminé que pour les fonctions intégrables ; lorsqu’il est déterminé, sa solution est l’intégrale indéfinie de .
Nous pouvons ainsi, en un certain sens, considérer l’intégration riemannienne comme l’opération inverse de la dérivation.
