CHAPITRE VI.
L’INTÉGRATION DÉFINIE À L’AIDE DES FONCTIONS PRIMITIVES.
I. — Recherche directe des fonctions primitives.
Nous avons obtenu des théorèmes permettant théoriquement, dans des cas étendus, de reconnaître si une fonction donnée est une fonction dérivée et, s’il en est ainsi, de trouver sa fonction primitive. En réalité, un seul de ces théorèmes est employé couramment : toute fonction continue est une fonction dérivée. Quant au calcul effectif des fonctions primitives, il ne se fait jamais au moyen de l’intégrale définie[1], mais à l’aide des procédés connus sous le nom d’intégration par parties et d’intégration par substitution. Ces deux procédés s’appliquent, qu’il s’agisse de fonctions continues ou non.
On peut aussi utiliser le théorème suivant : Une série uniformément convergente de fonctions dérivées représente une fonction dérivée.
Sa fonction primitive s’obtient en faisant la somme des fonctions primitives des termes de la série donnée, les constantes
- ↑ Cependant il est parfois possible d’effectuer pratiquement la recherche d’une fonction primitive à l’aide d’intégrales définies. On trouvera un exemple d’une telle recherche dans l’Introduction à l’étude des fonctions d’une variable réelle de J. Tannery, p. 284.
Au reste, les géomètres, et en particulier ceux qui ont utilisé la méthode des indivisibles, ont effectué quantité de quadratures en appliquant ce qui devait devenir la définition de l’intégrale définie. Après l’invention du calcul différentiel et l’introduction des notions de dérivée et de fonction primitive, les quadratures effectuées antérieurement ont formé les premiers éléments du tableau des dérivées et des fonctions primitives. Actuellement, ce tableau est tout d’abord donné sous la forme de tableau des dérivées ; on voit que l’ordre historique est exactement inverse de celui adopté dans nos cours.
