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CHAPITRE VII.
Nous complétons cette définition en posant
.
Il reste à voir si l’intégrale satisfait bien aux conditions du problème d’intégration[1].
Débarrassons-nous tout d’abord des conditions 1, 2, 4, 5. Il n’y a rien à dire pour cette dernière. La condition 4 résulte de ce que , par exemple, est positif quand est positive ou nulle.
La condition 1 résulte, pour le cas d’un intervalle positif, de ce que les sommes formées pour les deux intégrales , , à l’aide des mêmes nombres , sont identiques. Et de là on passe au cas d’un intervalle négatif.
Pour vérifier la condition 2 il suffit évidemment d’examiner le cas ; alors si l’on se sert des mêmes pour calculer les valeurs approchées , , des intégrales
,
,
,
on a évidemment
;
car on a des égalités analogues entre les mesures des ensembles correspondants qui interviennent dans ces trois sommes .
Reste donc les conditions 3 et 6 qu’il suffira de vérifier pour un intervalle positif et, pour cela, démontrons d’abord que, dans un tel intervalle, on a
,
lorsque l’on a
,
Servons-nous des mêmes nombres convenablement choisis, , , pour calculer des valeurs approchées et des deux
- ↑ Pour le cas où il existerait des fonctions non mesurables, il faut ajouter qu’on s’astreint à la considération des seules fonctions mesurables.