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CHAPITRE VII.

de $\zeta$ leurs intégrales diffèrent de moins de ${\zeta (b-a)}$ ; car, dire que $f$ et $g$ diffèrent de moins de $\zeta$, c’est dire que $g$ est comprise entre ${f-\zeta }$ et ${f+\zeta }$ ; donc que ${\int _{a}^{b}g\,\mathrm {d} x}$ est comprise entre

$\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x-\zeta (b-a)$et$\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x+\zeta (b-a)$.

Ceci posé, soient $f$ et $\varphi$ deux fonctions mesurables et bornées dans l’intervalle positif ${(a,b)}$ ; nous avons appris (p. 108) à leur associer des fonctions $f_{1}$ et $\varphi _{1}$ ne prenant qu’un nombre fini de valeurs et différant respectivement de $f$ et de $\varphi$ de moins de $\varepsilon$.

${f_{1}+\varphi _{1}}$ diffère alors de ${f+\varphi }$ de moins de $2\varepsilon$. On a donc

$\left\vert \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}f_{1}\,\mathrm {d} x\right\vert <\varepsilon (b-a)$,$\left\vert \int _{a}^{b}\varphi \,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}\varphi _{1}\,\mathrm {d} x\right\vert <\varepsilon (b-a)$,
$\left\vert \int _{a}^{b}(f+\varphi )\,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}(f_{1}+\varphi _{1})\,\mathrm {d} x\right\vert <2\varepsilon (b-a)$.

L’égalité à démontrer,

$\int _{a}^{b}(f+\varphi )\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}\varphi \,\mathrm {d} x$,

résultera donc de celle-ci :

$\int _{a}^{b}(f_{1}+\varphi _{1})\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f_{1}\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}\varphi _{1}\,\mathrm {d} x$,

Or, supposons que $f_{1}$ ne prenne que les valeurs $a_{1}$, $a_{2}$, … et respectivement aux points des ensembles $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, … ; que $\varphi _{1}$ ne prenne que les valeurs $b_{1}$, $b_{2}$, … et aux points de $e_{1}$, $e_{2}$, …. Et soit $\mathrm {E} _{ij}$ l’ensemble des points communs à $\mathrm {E} _{i}$ et à $e_{j}$, on a

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}(f_{1}+\varphi _{1})\,\mathrm {d} x&=\sum _{i,j}(a_{i}+b_{j})\,m(\mathrm {E} _{ij})\\&=\sum _{i}a_{i}\left[\sum _{j}m(\mathrm {E} _{ij})\right]+\sum _{j}b_{j}\left[\sum _{i}m(\mathrm {E} _{ij})\right]\\&=\sum _{i}a_{i}\,m(\mathrm {E} _{i})+\sum _{j}b_{j}\,m(e_{j})\\&=\int _{a}^{b}f_{1}\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}\varphi _{1}\,\mathrm {d} x{\text{.}}\end{aligned}}$

La condition 3 est donc bien remplie.