La condition 6 est aussi remplie, car on a la propriété suivante :
Si les fonctions mesurables , bornées dans leur ensemble, c’est-à-dire quels que soient et , ont une limite , l’intégrale de tend vers celle de .
En effet, nous savons que est intégrable ; évaluons
Si l’on a toujours et si est inférieure à dans , , étant inférieure à la fonction égale à dans et à dans , a une intégrale au plus égale en module à
Mais est quelconque, et tend vers zéro avec parce qu’il n’y a aucun point commun à tous les , donc
tend vers zéro. La propriété est démontrée[1].
Une autre forme de ce théorème est la suivante :
Si tous les restes d’une série de fonctions mesurables et bornées sont en module inférieurs à un nombre fixe , la série est intégrable terme à terme.
Les définitions et les résultats précédents peuvent être étendus à certaines fonctions non bornées. Soit une fonction mesurable non bornée. Choisissons des nombres …, , , , , , …, en nombre infini, échelonnés de à et tels que soit toujours inférieur à . Nous pouvons former les deux
- ↑ M. Osgood, dans un Mémoire de l’American Journal 1897 : On the non-uniform convergence, a démontré le cas particulier de ce théorème dans lequel et les sont continues. La méthode de M. Osgood est tout à fait différente de celle du texte.