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CHAPITRE VII.

séries, infinies dans les deux sens,

${\begin{aligned}\sigma &=\sum _{-\infty }^{+\infty }l_{i}\,m{\big \lbrace }\mathrm {E} [l_{i}\leqq f(x)<l_{i+1}]{\big \rbrace }{\text{,}}\\\Sigma &=\sum _{-\infty }^{+\infty }l_{i}\,m{\big \lbrace }\mathrm {E} [l_{i-1}<f(x)\leqq l_{i}]{\big \rbrace }{\text{.}}\\\end{aligned}}$

En reprenant les raisonnements précédents, on voit immédiatement que, si l’une d’elles est convergente, et par suite absolument convergente car tous les termes d’indice assez petit sont négatifs ou nuls et tous ceux d’indice assez grand sont positifs ou nuls, l’autre l’est aussi et que, dans ces conditions, $\sigma$ et $\Sigma$ tendent vers une limite bien déterminée quand le maximum de ${l_{i+1}-l_{i}}$ tend vers zéro d’une manière quelconque. Cette limite est, par définition, l’intégrale de $f(x)$ dans l’intervalle positif d’intégration ; on passe de là à un intervalle négatif comme précédemment.

Nous appellerons fonctions sommables les fonctions auxquelles s’applique la définition constructive de l’intégrale ainsi complétée^[1]. Toute fonction mesurable bornée est sommable^[2].

Si $f$ est une fonction sommable, $|f|$ est aussi sommable et, si l’intervalle d’intégration ${(a,b)}$ est positif, on a

$\left\vert \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x\right\vert \leqq \int _{a}^{b}|f|\,\mathrm {d} x$,

car les valeurs approchées des deux membres sont $|\sigma |$ et la somme des valeurs absolues des termes de $\sigma$. Si $f$ est sommable et si $f_{\mathrm {M,N} }$ désigne la fonction égale à $f$ quand $f$ est comprise entre $-\mathrm {M}$ et $+\mathrm {N}$ et nulle lorsque cela n’a pas lieu, on a, pour $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ tendant

1. Je m’écarte ici du langage adopté dans ma Thèse où j’appelais fonctions sommables celles que j’appelle maintenant mesurables. Avec les conventions du texte, maintenant adoptées par tous, le mot sommable joue dans la théorie de l’intégrale le même rôle que le mot intégrable dans l’intégration riemannienne.

   Lorsqu’une fonction est mesurable sans être sommable, elle n’a pas d’intégrale ; pourtant, lorsqu’il s’agira d’une fonction toujours positive ou bornée inférieurement (ou toujours négative ou bornée supérieurement) il nous arrivera de dire qu’elle a une intégrale infinie, pour des raisons qui se comprennent de suite.

2. Les fonctions sommables bornées, considérées ici, sont les mêmes que celles dont il a été question à la fin du Chapitre précédent, ceci apparaîtra au Chapitre IX.