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CHAPITRE VII.

modifiée de bien des manières ; il suffira : a. de partir de la connaissance de l’intégrale d’une classe assez vaste de fonctions particulières ; b. et d’utiliser un caractère d’intégration terme à terme des séries, que l’on posera a priori, et assez général pour qu’on puisse affirmer : c. que toute fonction mesurable est la somme d’une série de la nature considérée de fonctions appartenant à la classe envisagée. J’examinerai seulement^[1] et très rapidement une définition de M. W.-H. Young.

a. Il part de l’intégrale des fonctions continues.

b. Il admet que toute suite monotone est intégrable terme à terme.

Il a alors l’intégrale des fonctions $f_{l}$ et $f_{u}$ limites respectivement des suites croissantes et décroissantes de fonctions continues ;

Puis les intégrales des fonctions $f_{lu}$ et $f_{ul}$ limite respectivement de suites croissantes de fonctions $f_{u}$ et décroissantes de fonctions $f_{l}$ ;

Puis les intégrales des fonctions $f_{lul}$ , $f_{ulu}$ , etc.

Il faut naturellement démontrer que cette façon de procéder ne conduit pas à des contradictions, aussi M. Young prouve que l’intégration des suites monotones qu’il considère donne bien une suite d’intégrales convergentes et qu’à des suites monotones convergeant vers la même limite correspondent des suites d’intégrales de même limite.

c. Il faut aussi délimiter la famille des fonctions ainsi intégrées. En s’en tenant aux définitions précédentes^[2], ces fonctions ne seraient pas toutes les fonctions mesurables, mais ce seraient toutes les fonctions mesurables B, c’est-à-dire toutes les fonctions mesu-

↑ On peut à cette occasion citer aussi des remarques ou des travaux de MM. Fubini, F. Riesz, Weyl, Egoroff, Lusin, Borel. Voir, par exemple, le travail que j’ai publié aux Annales sc. de l’École Normale en 1918.
↑ M. Young, par une extension nouvelle atteint d’ailleurs toutes les fonctions mesurables. Voir, par exemple, Proc. of the Lond. Math. Soc., 1910.
Les lettres l et u qui figurent dans les notations de M. Young sont les initiales de lower et upper ; les fonctions $f_{l}$ et $f_{u}$ sont les fonctions semi-continues inférieurement et supérieurement de M. Baire (p. 19).

On peut aussi utiliser ce mode de définition pour les fonctions non bornées et pour les fonctions définies dans des ensembles.

Enfin on peut aussi, soit avec cette définition soit avec les autres, s’occuper du cas où l’intervalle ou ensemble de définition de la fonction n’est pas tout entier à distance finie, mais s’étend indéfiniment.

[1] On peut à cette occasion citer aussi des remarques ou des travaux de MM. Fubini, F. Riesz, Weyl, Egoroff, Lusin, Borel. Voir, par exemple, le travail que j’ai publié aux Annales sc. de l’École Normale en 1918.

[2] M. Young, par une extension nouvelle atteint d’ailleurs toutes les fonctions mesurables. Voir, par exemple, Proc. of the Lond. Math. Soc., 1910.
Les lettres l et u qui figurent dans les notations de M. Young sont les initiales de lower et upper ; les fonctions $f_{l}$ et $f_{u}$ sont les fonctions semi-continues inférieurement et supérieurement de M. Baire (p. 19).

On peut aussi utiliser ce mode de définition pour les fonctions non bornées et pour les fonctions définies dans des ensembles.

Enfin on peut aussi, soit avec cette définition soit avec les autres, s’occuper du cas où l’intervalle ou ensemble de définition de la fonction n’est pas tout entier à distance finie, mais s’étend indéfiniment.

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