Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/250

234

CHAPITRE X.

définitions antérieures, applicables seulement aux fonctions absolument continues, page 159^[1].

Une fonction continue ${\mathrm {F} (x)}$ sera dite résoluble si, quel que soit l’ensemble fermé de mesure nulle $\mathrm {E}$, il existe un intervalle ${(l,m)}$ contenant des points de $\mathrm {E}$ et tel que l’accroissement de ${\mathrm {F} (x)}$ sur la partie de $\mathrm {E}$ située dans ${(l,m)}$ soit défini et égal à zéro.

Voici maintenant l’énoncé de M. Denjoy : Pour qu’une fonction soit une totale indéfinie, il faut et il suffit qu’elle soit résoluble.

Cette condition est nécessaire. Si, en effet, ${\mathrm {F} (x)}$ est une totale indéfinie et si $\mathrm {E}$ est un ensemble parfait de mesure nulle, la fonction ${\mathrm {G} (x)}$ construite à l’aide de ${\mathrm {F} (x)}$ et de $\mathrm {E}$ est absolument continue dans un intervalle ${(l,m)}$ contenant des points de $\mathrm {E}$, et par suite, pour la partie $e$ de $\mathrm {E}$ située dans ${(l,m)}$, on a

${\mathcal {A}}_{\mathrm {F} (x)}(e)={\mathcal {A}}_{\mathrm {G} (x)}(e)=0$.

Cette condition est suffisante. D’après le premier énoncé, si ${\mathrm {F} (x)}$ n’est pas une totale indéfinie, il existe un ensemble fermé $\mathrm {E}$ tel que la fonction ${\mathrm {G} (x)}$ correspondante ne soit absolument continue dans aucun intervalle contenant des points de $\mathrm {E}$ à son intérieur ; nous allons montrer que l’on peut même remplacer cet ensemble $\mathrm {E}$ par un autre de mesure nulle. Pour cela, nous distinguerons trois cas.

a. Supposons que quel que soit l’intervalle ${(l,m)}$ contenant à son intérieur des points de $\mathrm {E}$, la série ${\sum _{(l,m)}^{\mathrm {E} }\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}$, étendue aux parties des intervalles contigus à $\mathrm {E}$ situées dans ${(l,m)}$, contienne une infinité de termes positifs et de somme infinie.

Choisissons un nombre fini des termes de ${\sum _{(l,m)}^{\mathrm {E} }\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}$ tels que leur somme surpasse 1 ; soient ${(\alpha _{1},\beta _{1})}$, …, ${(\alpha _{i},\beta _{i})}$ les intervalles correspondants. Prenons des intervalles ${(a_{1},\alpha _{1})}$,

1. La même conclusion est vraie pour toutes les fonctions ${\mathrm {F} (x)}$ continues et à variation bornée si l’on suppose pour elles l’accroissement sur un ensemble fermé défini comme il a été dit au Chapitre VIII.