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LA TOTALISATION.

aux points d’un ensemble $\mathrm {E} ^{ip}$, de mesure nulle, lequel est l’ensemble des singularités de ${\mathrm {P} _{s}(x)}$ et de ${\mathrm {G} (x)}$.

Le changement de variable (p. 167)

$t=x+\mathrm {P} _{s}(x)$,

transforme ${\mathrm {P} _{s}(x)}$, ${\mathrm {AC} (x)}$, ${\mathrm {G} (x)}$ en des fonctions absolument continues ${p_{s}(t)}$, ${ac(t)}$, $g(t)$ et $\mathrm {E} ^{ip}$ en $e^{ip}$, un ensemble $\mathrm {I}$ d’intervalles enfermant $\mathrm {E} ^{ip}$ en un ensemble $i$ d’intervalles enfermant $e^{ip}$, les variations totales de ${\mathrm {P} _{s}(x)}$ et de ${\mathrm {AC} (x)}$, dans $\mathrm {I}$, en les variations totales de ${p_{s}(t)}$ et de ${ac(t)}$, dans $i$.

Or, pour ${\mathrm {P} _{s}(x)}$, la variation totale dans $\mathrm {I}$ est égale à ${\mathrm {P} _{s}(x)}$, c’est-à-dire à la variation totale dans tout ${(a,b)}$, parce que $\mathrm {E} ^{ip}$ est l’ensemble des singularités de ${\mathrm {P} _{s}(x)}$. Donc la variation totale de ${p_{s}(t)}$ dans $e^{ip}$ est égale à sa variation totale dans ${(a,b)}$ et par suite est différente de zéro. Ceci montre que $e^{ip}$ est de mesure non nulle.

Pour ${\mathrm {AC} (x)}$, la variation totale dans $\mathrm {I}$ tend vers zéro avec ${m(\mathrm {I} )}$ puisque ${\mathrm {AC} (x)}$ est absolument continue ; donc la variation totale de ${ac(t)}$ est nulle dans $e^{ip}$ et par suite on a, presque partout sur $e^{ip}$,

$ac'(t)=0$.

Or, en tout point de $\mathrm {E} ^{ip}$, donc de $e^{ip}$, on a

$\mathrm {P} _{s}'(x)=+\infty$ ;

d’où

$t'(x)=1+\mathrm {P} _{s}'(x)=+\infty$,$x'(t)=0$ ;

puis

$1=x'(t)+p_{s}'(t)$,$p_{s}'(t)=1$.

Donc la dérivée de ${g(t)=ac(t)+p_{s}(t)}$ existe et est égale à 1 en tous les points d’un ensemble $e_{0}$ contenu dans $e^{ip}$ et de même mesure que lui.

En restreignant $e_{0}$ sans changer sa mesure, nous pouvons même supposer qu’aux points de $e_{0}$ sont remplies des conditions qui sont presque partout remplies dans la transformée $e$ de $\mathrm {E}$, donc presque partout dans $e^{ip}$. Nous admettrons ainsi que les points de $e_{0}$ ne sont ni origines, ni extrémités d’intervalles contigus à $e$ et qu’en ces points les quatre nombres dérivés de la fonction $f(t)$ transformée de ${\mathrm {F} (x)}$, ${f(t)\equiv \mathrm {F} (x)}$, présentent l’une des quatre associations indiquées par le théorème précédent.