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CHAPITRE XI.

Mais, avant de rechercher une forme nouvelle de la définition de l’intégrale de Stieltjès, il convient de voir dans quel cas on peut employer sans modification la définition primitivement posée pour les fonctions continues.

Soit $f(x)$ une fonction bornée dans ${(a,b)}$ et ${\alpha (x)}$ une fonction à variation bornée, nous formons, comme il a été dit, la somme

\mathrm {S} =\sum _{0}^{n}f(\xi _{i})\left[\alpha (x_{i+1})-\alpha (x_{i})\right]=\sum _{0}^{n}f(\xi _{i})\,\delta _{i}\alpha

.

Si, dans ${(x_{i},x_{i+1})}$ , $f(x)$ varie entre $\mathrm {L} _{i}$ et $l_{i}$ , nous désignerons par $\mathrm {L} '_{i}$ et $l'_{i}$ deux nombres définis par les conventions

$\mathrm {L} '_{i}=\mathrm {L} _{i}$ ,	$l'_{i}=l_{i}$ ,	si $\;\delta _{i}\alpha \geqq 0$ ,
$\mathrm {L} '_{i}=l_{i}$ ,	$l'_{i}=\mathrm {L} _{i}$ ,	si $\;\delta _{i}\alpha <0$ ,

$\mathrm {L} '_{i}$ et $l'_{i}$ seront les bornes supérieure et inférieure de $f(x)$ prises par rapport à ${\alpha (x)}$ . L’oscillation de $f(x)$ , toujours dans l’intervalle considéré, sera

\omega _{i}=\mathrm {L} _{i}-l_{i}=\left\vert \mathrm {L} '_{i}-l'_{i}\right\vert

.

Ceci posé, si l’on fait varier les $\xi _{i}$ sans faire varier les $x_{i}$ , $\mathrm {S}$ varie entre

{\overline {\mathrm {S} }}=\sum _{0}^{n}\mathrm {L} _{i}'\,\delta _{i}\alpha

et

{\underline {\mathrm {S} }}=\sum _{0}^{n}l_{i}'\,\delta _{i}\alpha

;

nous allons montrer que ces sommes, pour une suite de divisions $\mathrm {D} _{1}$ , $\mathrm {D} _{2}$ , … en intervalles dont la longueur maximum tend vers zéro, tendent vers des limites déterminées

{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]

,

{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]

,

— que nous appellerons les intégrales de Stieltjès-Darboux de $f(x)$ , par excès et par défaut, — pourvu que tout point de discontinuité de ${\alpha (x)}$ soit point de la division $\mathrm {D} _{k}$ , à partir d’une certaine valeur de $k$ .