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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.
on a
Or, pour les fonctions croissantes et , l’étude des sommes telles que est facile. Soit , , … une seconde suite de divisions assujettie aux mêmes conditions que la suite des ; soient et les nombres fournis par et ; nous voulons comparer la suite des et celle des .
Si est pris assez grand, étant fixe, dans chaque intervalle fourni par se trouve au plus un des points de si bien que si est l’un des intervalles fourni par , sera dans un intervalle de et dans ; . Si (ou ) est point de discontinuité de , pour assez grand et seront confondus avec (ou et avec ) ; de sorte que nous ne supposerons (ou ) différent de zéro que si (ou ) est point de continuité de . Alors, remplaçons la contribution de dans par ; comme diffère de la borne supérieure de dans d’aussi peu que l’on veut quand est pris suffisamment grand, — à cause de la petitesse de et de la continuité de au point , — on modifiera ainsi d’aussi peu que l’on voudra. Faisons cela pour chaque point de division de , nous aurons un nombre différent de de moins de . Si, entre et les points de sont , , … nous pouvons dire que la contribution de dans est de la forme
Or , , , …, sont au plus égaux à la borne supérieure de dans ; la somme précédente est donc au plus égale à
.
c’est-à-dire à la contribution de dans . Donc on a
.