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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

comme limite d’une fonction de corps, d’une fonction de domaine. Si pourtant, on parle peu de ces fonctions, c’est que les mathématiciens n’ont pas encore créé l’Algèbre et l’Analyse des fonctions de domaine. On possède par contre des notations remarquablement maniables pour les fonctions de points ; aussi, par des artifices divers — mais qui se réduisent toujours au fond à ne raisonner que sur des domaines assez spéciaux pour qu’ils ne dépendent plus que d’un nombre fini de variables —, remplace-t-on toujours l’emploi des fonctions de domaine par celui des fonctions de point.

L’opération de dérivation que nous avons rencontrée est celle qu’étudie Cauchy. Elle se définit ainsi : $\varphi (\mathrm {D} )$ et $\psi (\mathrm {D} )$ étant deux fonctions de domaines, pour avoir la dérivée en un point $\mathrm {P}$ de $\varphi$ par rapport à $\psi$, on prend la limite du rapport ${\frac {\varphi (\mathrm {D} _{i})}{\psi (\mathrm {D} _{i})}}$ pour une suite de domaines $\mathrm {D} _{i}$ de plus en plus petits et se réduisant à la limite au seul point $\mathrm {P}$.

On pourra définir de même la dérivée d’une fonction d’ensemble par rapport à une autre ; on pourra être amené aussi à astreindre la suite des $\mathrm {D} _{i}$ ou des $\mathrm {E} _{i}$, à des restrictions supplémentaires pour que la limite existe, comme nous avons dû le faire (p. 191) ; laissons ces détails de côté.

Proposons-nous, avec Cauchy, de calculer $\varphi (\mathrm {D} )$ connaissant $\psi (\mathrm {D} )$ et la dérivée $f(\mathrm {P} )$ de $\varphi (\mathrm {D} )$ par rapport à $\psi (\mathrm {D} )$. Ce problème ne serait pas déterminé, et nous ne saurions guère comment l’étudier, si nous laissions à la notion de fonction de domaine toute la généralité possible. Nous allons supposer qu’il s’agit de fonctions additives de domaine. C’est là une restriction importante à la conception de Cauchy : la surface et le volume d’un corps sont deux grandeurs coexistantes, ce sont certes aussi deux fonctions de domaine, mais la seconde seule est additive.

En réalité, pour traiter le problème qui va nous occuper, Cauchy se restreint, comme nous allons le faire, mais sans s’en rendre compte nettement, au cas des fonctions additives de domaines. Cette restriction est d’ailleurs légitimée pratiquement par le fait que ceux des nombres fournis par la physique qui sont ce que nous appelons des mesures de grandeur^[1] sont des fonctions additives de domaine.

1. À mon avis les grandeurs devraient être définies dès les Éléments comme