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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

prise pour des nombres ${x_{0}+h}$ formant un ensemble $\mathrm {E}$ de densité un, par rapport à ${\mathrm {V} (x)}$, au point $x_{0}$. Ce qui revient à dire que, si l’on fait tendre $x$ et $y$ vers $x_{0}$, ${x\leqq x_{0}\leqq y}$, et si $\mathrm {E} _{xy}$ désigne la partie de $\mathrm {E}$ située dans $xy$, le rapport ${\frac {m_{\mathrm {V} (x)}[\mathrm {E} _{xy}]}{\mathrm {V} (y+0)-\mathrm {V} (x-0)}}$ tend vers un.

Bornons la théorie de la totalisation par rapport à une fonction à ces affirmations, que le lecteur justifiera de suite, et revenons à la recherche des fonctions primitives.

Nous nous proposons donc de former une fonction ${\mathrm {F} (x)}$ connaissant la valeur finie $f(x)$ de sa dérivée prise par rapport à une fonction donnée ${\alpha (x)}$, à variation bornée. Reprenons ce que nous avons déjà fait (p. 286).

À toute valeur $v_{0}$ de $v$ telle que l’on ait ${v_{0}=\mathrm {V} (x_{0})}$ pour une ou plusieurs valeurs $x_{0}$, associons le nombre ${{\mathcal {F}}(v_{0})=\mathrm {F} (x_{0})}$ ; cette convention ne prête à aucune ambiguïté car, s’il y a plusieurs valeurs $x_{0}$ correspondant à $v_{0}$, c’est qu’elles donnent toutes la même valeur à ${\mathrm {V} (x_{0})}$ donc à ${\alpha (x_{0})}$ et par suite à ${\mathrm {F} (x_{0})}$. En effet, si ${\mathrm {F} (x)}$ n’était pas constante dans un intervalle où ${\alpha (x)}$ est constante, ${\mathrm {F} (x)}$ n’aurait pas une dérivée finie, par rapport à ${\alpha (x)}$, en tous les points de cet intervalle.

À une valeur $v_{0}$ telle que l’on ait :
soit

$\mathrm {V} (x_{0}-0)\leqq v_{0}<\mathrm {V} (x_{0})$,

soit

$\mathrm {V} (x_{0})<v_{0}\leqq \mathrm {V} (x_{0}+0)$,

posons respectivement :
soit

${\mathcal {F}}(v_{0})=\mathrm {F} (x_{0}-0)+{\frac {\mathrm {F} (x_{0})-\mathrm {F} (x_{0}-0)}{\mathrm {V} (x_{0})-\mathrm {V} (x_{0}-0)}}\left[v_{0}-\mathrm {V} (x_{0}-0)\right]$,

soit

${\mathcal {F}}(v_{0})=\mathrm {F} (x_{0})+{\frac {\mathrm {F} (x_{0}+0)-\mathrm {F} (x_{0})}{\mathrm {V} (x_{0}+0)-\mathrm {V} (x_{0})}}\left[v_{0}-\mathrm {V} (x_{0})\right]$,

Il est clair que la fonction ${{\mathcal {F}}(v)}$, définie dans l’intervalle ${(0,\mathrm {V} )}$, y est continue. Laissons de côté l’infinité dénombrable $\mathrm {D}$ des points $v$ donnés par les intervalles dans lesquels ${\alpha (x)}$ est constante et par les formules

$v=\mathrm {V} (x_{0})$,$v=\mathrm {V} (x_{0}-0)$,$v=\mathrm {V} (x_{0}+0)$,