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CHAPITRE II.

Riemann porte son attention sur le procédé opératoire qui permet, dans le cas des fonctions continues, de calculer l’intégrale avec telle approximation que l’on veut, et il se demande dans quels cas ce procédé, appliqué à des fonctions discontinues, donne un nombre déterminé^[1].

Soit une fonction bornée $f(x)$ définie dans un intervalle fini ${(a,b)}$. Divisons ${(a,b)}$ en intervalles partiels $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, …, $\delta _{n}$ et choisissons arbitrairement, quel que soit $i$, un point $x_{i}$ dans $\delta _{i}$ ou confondu avec l’une des extrémités de $\delta _{i}$. Considérons la somme

$\mathrm {S} =\delta _{1}f(x_{1})+\delta _{2}f(x_{2})+\ldots +\delta _{n}f(x_{n})$.

Augmentons constamment le nombre des intervalles $\delta$ et choisissons-les de telle manière que le maximum de leur longueur tende vers zéro^[2]. Alors, si $\mathrm {S}$ tend vers une limite déterminée, indépendante des intervalles et des points $x_{i}$ choisis, Riemann dit que la fonction $f(x)$ est intégrable et a pour intégrale, dans ${(a,b)}$, la limite de $\mathrm {S}$.

Lorsque $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, …, $\delta _{n}$ sont choisis, le nombre $\mathrm {S}$ n’est pas entièrement déterminé ; ses limites inférieure et supérieure d’indétermination sont :

${\underline {\mathrm {S} }}={\textstyle \sum }\,l_{i}\delta _{i}$,${\overline {\mathrm {S} }}={\textstyle \sum }\,\mathrm {L} _{i}\delta _{i}$,

où $l_{i}$ et $\mathrm {L} _{i}$ représentent les limites inférieure et supérieure de $f(x)$ dans $\delta _{i}$. Posons ${\mathrm {L} _{i}-l_{i}=\omega _{i}}$, alors

${\overline {\mathrm {S} }}-\mathrm {S} \leqq {\overline {\mathrm {S} }}-{\underline {\mathrm {S} }}={\textstyle \sum }\,\delta _{i}\omega _{i}$.

Pour que $\mathrm {S}$ tende vers une limite déterminée, il faut d’abord

1. Cauchy n’appliquait son procédé de définition de l’intégrale qu’à des fonctions considérées a priori comme intéressantes : les fonctions continues ; maintenant, au contraire, toute fonction sera intéressante à laquelle s’appliquera le procédé de définition.

   De là, d’une part, une classification nouvelle des fonctions, d’autre part, un enrichissement de la notion d’intégrale. Si l’on compare les résultats de Cauchy et de Riemann (note 1, p. 5), il faut signaler le caractère mathématique du progrès dû à ce dernier.

   La façon dont ce progrès a été obtenu : délimiter le domaine d’application d’une définition quand on n’introduit a priori aucune restriction à son emploi, a été souvent utilisée depuis un siècle.

2. Il est bien entendu que, pour passer d’une division à la suivante, on n’est pas obligé de se servir des points de division déjà employés.