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LA DÉFINITION DE L’INTÉGRALE DONNÉE PAR RIEMANN.
que
tende vers zéro ; mais
, tend vers
, où
est l’oscillation moyenne de
; donc, pour que
soit intégrable, il faut qu’elle soit à oscillation moyenne nulle.
Cette condition est suffisante. Pour le démontrer, il suffit de prouver que
a une limite bien déterminée, puisque
tend vers zéro. Supposons, pour faire cette étude, que l’on raisonne non sur la fonction
, mais sur
,
étant une constante telle que
ne soit jamais négative.
Soient, comme précédemment, page 22, les deux suites de divisions
,
, … ;
,
, … telles que le maximum de la longueur des intervalles partiels tende dans chaque suite vers zéro ; ce maximum est
pour
. Soient
,
, … ;
,
, … les nombres analogues à
et correspondant à ces divisions.
Comparons
et
. Partageons les intervalles de
en deux espèces, comme il a été dit dans l’étude de l’oscillation moyenne (p. 23). Les intervalles
fournissent, dans
, une contribution au plus égale à
, où
est le maximum de
dans
. Les intervalles
figurent tous dans
, à laquelle correspond
; donc, la contribution des intervalles
dans
est au plus égale à
. Mais
s’obtient en morcelant les intervalles de
; il est évident, dans ces conditions, que
est au plus égale à
. De tout cela on tire
![{\displaystyle {\overline {\Sigma _{j}}}\leqq {\overline {\mathrm {S} _{i}}}+n\mathrm {L} \lambda _{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2be4d0bf18f985031854a02131335421ac39c42a)
.
De cette inégalité on conclut, comme précédemment, que
et
ont la même limite et même qu’ils tendent uniformément vers cette limite.
La propriété est démontrée pour
, donc elle est vraie pour
, car, en passant de
à
, on augmente toutes les sommes
de
.
Il est important, pour la suite, de remarquer que nous avons démontré l’existence d’une limite pour
sans faire aucune hypothèse sur la fonction bornée
. La condition que
est à oscillation moyenne nulle est intervenue seulement lorsque, de l’existence d’une limite pour
, nous avons déduit l’existence d’une limite pour
.
On peut transformer la condition d’intégrabilité obtenue : il faut et il suffit que la somme
tende vers zéro. Cela revient à