variation totale positive, variation totale négative, sont liées par les mêmes relations que , , .
Ceci posé, soient , , les trois variations totales dans , (), on a
Mais et ne peuvent pas décroître quand croît, donc le théorème annoncé est démontré.
On a, de plus,
De là résulte que, si l’une des trois variations est finie, les deux autres le sont aussi, puisque l’on a entre les variations et l’accroissement les deux relations
Une fonction à variation bornée peut être mise d’une infinité de manières sous la forme d’une différence de deux fonctions croissantes. Si l’on ajoute à et une même fonction non décroissante, on obtient deux fonctions non décroissantes et telles que l’on ait
On voit facilement que les fonctions non décroissantes et les plus générales satisfaisant à cette égalité sont celles qui viennent d’être construites ; de sorte que et sont, parmi toutes les fonctions et , non négatives et non décroissantes qui vérifient l’égalité précédente, celles qui sont les plus petites.
Pour calculer la variation totale d’une fonction discontinue comme limite d’une suite de variations , il faut choisir d’une manière très particulière les points de division ; par exemple, pour une fonction qui est partout nulle, sauf à l’origine, il faut que l’origine soit un point de division. Pour les fonctions continues, au contraire, on a cette propriété : la variation d’une fonction continue, relative à une division quelconque, tend uniformément vers la variation totale de cette fonction quand le maximum de la longueur des intervalles employés tend vers zéro.
Soient, en effet, deux suites de divisions , , … ; ,
