partout une dérivée. Cette conséquence a été signalée par Riemann qui a appelé l’attention sur l’intégrale indéfinie de la fonction
Cette intégrale indéfinie admet pour dérivée quand n’est pas de la forme .
Supposons et faisons tendre vers par valeurs croissantes, on a vu que tend vers donc, d’après le théorème de la moyenne, il en est aussi de même de .
Au contraire, ce rapport tendra vers si l’on fait tendre vers par valeurs décroissantes ; donc n’a pas de dérivée pour les valeurs de la forme .
C’est le premier exemple que l’on ait connu d’une fonction de laquelle il n’aurait pas été clairement légitime de dire qu’elle admet, en général, une dérivée. On connaissait bien des fonctions, celle de Cauchy, par exemple, , qui, en certains points, n’avaient pas de dérivée ; mais ces points étaient exceptionnels, ils ne formaient jamais un ensemble partout dense ; dans l’exemple de Riemann, au contraire, il y a des points sans dérivée dans tout intervalle. Le principe de condensation des singularités nous donnera autant d’exemples que nous le voudrons de fonctions analogues à celles de Riemann ; si les sont tous les nombres rationnels, est une ces fonctions.
L’intégration fournit des fonctions qui n’ont pas toujours une dérivée. Par une méthode toute différente, Weierstrass a construit une fonction n’ayant jamais de dérivée[2] ; il est évident que l’intégration ne peut pas donner de telles fonctions : Les points en