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CHAPITRE VII.

Nous complétons cette définition en posant

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x$.

Il reste à voir si l’intégrale satisfait bien aux conditions du problème d’intégration^[1].

Débarrassons-nous tout d’abord des conditions 1, 2, 4, 5. Il n’y a rien à dire pour cette dernière. La condition 4 résulte de ce que $\sigma$, par exemple, est positif quand $f$ est positive ou nulle.

La condition 1 résulte, pour le cas d’un intervalle positif, de ce que les sommes $\sigma$ formées pour les deux intégrales ${\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$, ${\int _{a+h}^{b+h}f(x-h)\,\mathrm {d} x}$, à l’aide des mêmes nombres $l_{i}$, sont identiques. Et de là on passe au cas d’un intervalle négatif.

Pour vérifier la condition 2 il suffit évidemment d’examiner le cas ${a<c<b}$ ; alors si l’on se sert des mêmes $l_{i}$ pour calculer les valeurs approchées $\sigma _{a}^{c}$, $\sigma _{c}^{b}$, $\sigma _{a}^{b}$ des intégrales

${\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x}$,${\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$,${\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$,

on a évidemment

$\sigma _{a}^{b}=\sigma _{a}^{c}+\sigma _{c}^{b}$ ;

car on a des égalités analogues entre les mesures des ensembles correspondants qui interviennent dans ces trois sommes $\sigma$.

Reste donc les conditions 3 et 6 qu’il suffira de vérifier pour un intervalle ${(a,b)}$ positif et, pour cela, démontrons d’abord que, dans un tel intervalle, on a

$\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x\leqq \int _{a}^{b}g\,\mathrm {d} x\leqq \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x+\eta (b-a)$,

lorsque l’on a

$f\leqq g\leqq f+\eta$,

Servons-nous des mêmes nombres convenablement choisis, $l$, $\mathrm {L}$, $l_{i}$ pour calculer des valeurs approchées $\sigma (f)$ et $\sigma (g)$ des deux

1. Pour le cas où il existerait des fonctions non mesurables, il faut ajouter qu’on s’astreint à la considération des seules fonctions mesurables.