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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

intégrales. Désignons par $\mathrm {F} _{i}$ et $\mathrm {G} _{i}$ les deux ensembles

$\mathrm {E} [l_{i}\leqq f(x)<l_{i+1}]$,$\mathrm {E} [l_{i}\leqq g(u)<l_{i+1}]$,

on a

${\begin{alignedat}{3}&\sigma (f)&{}={}&\sum _{i=0}^{i=n-1}l_{i}\,m(\mathrm {F} _{i})&{}={}&l_{n-1}\,m(\mathrm {F} _{0}+\mathrm {F} _{1}+\ldots +\mathrm {F} _{n-1})\\&&&&&{}-{}\sum _{i=0}^{i=n-2}(l_{i+1}-l_{i})\,m(\mathrm {F} _{0}+\mathrm {F} _{1}+\ldots +\mathrm {F} _{i}){\text{,}}\\&\sigma (g)&{}={}&\sum _{i=0}^{i=n-1}l_{i}\,m(\mathrm {G} _{i})&{}={}&l_{n-1}\,m(\mathrm {G} _{0}+\mathrm {G} _{1}+\ldots +\mathrm {G} _{n-1})\\&&&&&{}-{}\sum _{i=0}^{i=n-2}(l_{i+1}-l_{i})\,m(\mathrm {G} _{0}+\mathrm {G} _{1}+\ldots +\mathrm {G} _{i}){\text{.}}\\\end{alignedat}}$

Or, à cause de ${f\leqq g}$, ${\mathrm {F} _{0}+\mathrm {F} _{1}+\ldots +\mathrm {F} _{i}}$ contient

${\mathrm {G} _{0}+\mathrm {G} _{1}+\ldots +\mathrm {G} _{i}}$

et, pour ${i=n-1}$, ces deux ensembles sont identiques. Donc les premiers termes de $\sigma (f)$ et $\sigma (g)$ sont égaux et les autres termes sont plus petits, en valeur absolue, dans $\sigma (g)$ que dans $\sigma (f)$, ce qui prouve la première inégalité

$\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x\leqq \int _{a}^{b}g\,\mathrm {d} x$.

Puisque l’on a

$g\leqq f+\eta$,

on a donc

$\int _{a}^{b}g\,\mathrm {d} x\leqq \int _{a}^{b}(f+\eta )\,\mathrm {d} x$ ;

pour calculer cette dernière intégrale de façon approchée servons-nous des nombres ${l+\eta }$, ${\mathrm {L} +\eta }$, ${l_{i}+\eta }$ ; il est clair que l’on trouve

${\begin{aligned}\sigma (f+\eta )&=\sum _{i=0}^{i=n-1}(l_{i}+\eta )\,m(\mathrm {F_{i}} )\\&=\sum _{i=0}^{i=n-1}l_{i}\,m(\mathrm {F_{i}} )+\eta \sum _{i=0}^{i=n-1}m(\mathrm {F_{i}} )=\sigma (f)+(b-a)\eta {\text{.}}\end{aligned}}$

d’où

$\int _{a}^{b}g\,\mathrm {d} x\leqq \int _{a}^{b}(f+\eta )\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x+\eta (b-a)$.

On peut encore dire que si deux fonctions diffèrent de moins