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CHAPITRE X.

des points où ${\Lambda _{d}\mathrm {G} (x)=-\infty }$ par $\mathrm {E} _{\mathrm {G} }^{in}$

${\begin{aligned}\mathrm {G} (b)-\mathrm {G} (a)&=\int _{\mathrm {H} _{0}-\mathrm {E} _{\mathrm {G} }^{in}}\Lambda _{d}\mathrm {G} (x)\,\mathrm {d} x-\mathrm {N} (\mathrm {E} _{\mathrm {G} }^{in})\\&=\int _{\mathrm {E} -\mathrm {E} _{\mathrm {G} }^{in}}\Lambda _{d}\mathrm {G} (x)\,\mathrm {d} x+{\textstyle \sum \left[\mathrm {G} (\beta )-\mathrm {G} (\alpha )\right]}-\mathrm {N} (\mathrm {E} _{\mathrm {G} }^{in}){\text{ ;}}\\\end{aligned}}$

le symbole ${\mathrm {N} (\mathrm {E} _{\mathrm {G} }^{in})}$ ayant le sens indiqué page 181. En tout point de $\mathrm {E}$, on a ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)\geqq \Lambda _{d}\mathrm {G} (x)}$ ; inégalité dont le second membre est borné sauf aux points de $\mathrm {E} _{\mathrm {G} }^{in}$ ; donc l’ensemble $\mathrm {E} ^{in}$ est contenu dans $\mathrm {E} _{\mathrm {G} }^{in}$ et par suite de mesure nulle.

De plus la série ${\textstyle \sum l\varepsilon \,m(\mathrm {E} _{l})}$ ne peut être inférieure à

$\int _{\mathrm {E} -\mathrm {E} _{\mathrm {G} }^{in}}\left[\Lambda _{d}\mathrm {G} (x)-\varepsilon \right]\,\mathrm {d} x$ ;

puisque, presque partout sur $\mathrm {E}$, ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$ est au moins égale à ${\Lambda _{d}\mathrm {G} (x)}$ ; en termes plus précis, on peut dire que les valeurs de $l$ négatives fournissent des ensembles $\mathrm {E} _{l}$ qui donnent dans ${\textstyle \sum l\varepsilon \,m(\mathrm {E} _{l})}$ une contribution au moins égale à celle qu’ils donnent dans l’intégrale précédente, tandis que les $l$ positifs donnent des ${l\varepsilon }$ au plus égaux à $k$, donc ${\int _{\mathrm {E} -\mathrm {E} ^{in}}\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)\,\mathrm {d} x}$ existe et est au moins égale à ${\int _{\mathrm {E} -\mathrm {E} _{\mathrm {G} }^{in}}\Lambda _{d}\mathrm {G} (x)\,\mathrm {d} x}$. Les deux intégrales sont, il est vrai, étendues à des intervalles différents, ${\mathrm {E} -\mathrm {E} ^{in}}$ et ${\mathrm {E} -\mathrm {E} _{\mathrm {G} }^{in}}$, mais qui diffèrent seulement par un ensemble de mesure nulle.

Si enfin on remarque que

${\begin{aligned}G(b)-G(a)&=\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a){\text{,}}\\G(\beta )-G(\alpha )&=\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha ){\text{,}}\\\end{aligned}}$

on a l’inégalité du texte

$\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)\leqq \int _{\mathrm {E} -\mathrm {E} ^{in}}\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)\,\mathrm {d} x+{\textstyle \sum \left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}$.

Dans le cas où $\mathrm {E} ^{in}$ n’existe pas, couvrons tout ${(a,b)}$, à partir de $a$, à l’aide d’une chaîne d’intervalles choisis comme il suit^[1].

1. Il est clair qu’on pourrait remplacer dans ce qui précède l’emploi des résultats empruntés au Chapitre IX par leur démonstration à l’aide de chaînes d’intervalles ; on aurait ainsi, au prix de quelques longueurs, un exposé plus homogène.