Mais c’est par accident par ce que lorsque dx = 0, il vient y - b = 0 ce qui fait xx - 2 ax + aa — bb = 0, car si l’equation avoit esté a [3](y - b) = [2](xx - 2ax + aa — bb) + b4, on trouvera selon la methode de Mons. Hudde que cette équation formée expressément x4 - 4ax3 + 2aaxx - 4a{{exp|3}x :xp|3}
- - 2b:bxx + 4abbx - 2aabb
- + 4aaxx + 2b4
- et multipliée par 4, 3, 2, 1, 0, donne la même équation
- x3 - 3axx + 3aax - a3 = 0
- - bbx + abb
- - bbx + abb
et cependant au cas de dx = 0 les deux racines x - a + b et x - a - b ne servent point et par conséquent l’equation faite par leur multiplication, sçavoir xx - 2ax + aa - bb, sert point non plus. Car dans ce cas il y a aussi y - b = 0, mais cela donne icy non pas xx - 2ax + aa - bb = 0, c’est à dire x - a = 0 ou x - a - b√2 = 0. Cependant revenant à la première courbe dont il s’agit et dont l’equation est a [3] (y - b) = [2] (xx - 2ax + xx - bb) ou bien faisant x - a = z et y — b = v, av2 = [2] (zz — bb ) ou v 3√aa = [2/3] (zz - bb) et dv = 4 zdz : 3 3√(azz - abb), on peut satisfaire à dv (ou dy) = 0, non seulement en faisant z = 0 (ou x = a), mais encor dans nostre cas, en faisant dz = O, comme en effect cela se peut prendre ainsi dans nostre courbe (fig. 146) ou DP sont minimae, comme (D) (P) maxima, puisqu’il se trouve que les y, qui sont designées par DP, DP, sont les plus petites quand dz = 0, et (D)(P) est la plus grande quand z est 0 ; car des racines d’une équation on employe celles qui servent, et icy des deux racines de l’equation zdz = 0, sçavoir de z ou dz, l’une et l’autre sert, et en quelque sens il est vray que la droite parallele à l’axe AP, qui passe par D, touche la courbe. Aussi peut on concevoir la sinuosité de la recourbure (qui enferme une touchante parallele à l’axe) reduite au cas ou elle evanuoit. Mais dans les méthodes qui en cherchant y la plus grande ou la plus petite, suppriment dx ou dz comme celle ou on multiplie l’equalion selon x par des nombres de progression arithmétique, il y a cette imperfection que le cas de dz = 0 est supprimé aussi. Car j’ay dit déjà que c’est par accident qu’il vient icy.
La seconde objection n’est qu’une méprise, et la troisième n’est pas une objection, car ce qu’on prend pour un inconvénient
