tiendra le triangle
prolongeons encore les deux autres côtés
au delà de leur intersection mutuelle
jusqu’à leur rencontre avec
le cercle en
et en
L’hémisphère se trouvera partagé ainsi en
quatre triangles
dont nous désignerons
les surfaces par
Il est évident que l’on a
![{\displaystyle P+X=B,\qquad P+Z=A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f3e40a59bf1ca4322303fd4a55a8c2110a8727f)
La surface du triangle sphérique
est équivalente à celle du
triangle opposé
qui a le côté
commun avec le triangle
et dont le troisième sommet
est situé à l’autre extrémité du diamètre
de la sphère, mené par le point
(prop. 26). De là
résulte
![{\displaystyle P+Y=C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303616521b5bb7dd903e23f46fb4288dc83998ef)
et comme d’ailleurs
![{\displaystyle P+X+Y+Z=\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f06094c4f5576a6483da292346d2b19784a052)
il s’ensuit que l’on a
![{\displaystyle P={\frac {1}{2}}(A+B+C-\pi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2ade920234513fb6e91b1028737a865179519d)
On peut encore arriver à la même conclusion d’une autre manière,
en s’appuyant seulement sur le théorème que nous avons démontré
relativement à l’équivalence des surfaces (prop. 26).
Dans le triangle sphérique
(fig. 16), menons, par les milieux
des côtés
le grand cercle
sur lequel nous abaisserons, des
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Lobatchevski_-_La_Th%C3%A9orie_des_parall%C3%A8les%2C_1980_-_Fig-1-16.png/320px-Lobatchevski_-_La_Th%C3%A9orie_des_parall%C3%A8les%2C_1980_-_Fig-1-16.png)
Fig. 16
points
les arcs perpendiculaires
Si l’arc perpendiculaire
tombe entre
et
le
triangle résultant
sera égal à
et le triangle
égal
à
(prop. 6 et 15), d’où il résulte que la surface du triangle
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