D’après cela, l’existence d’un triangle rectiligne, ayant pour côtés
et pour angles opposés
entraîne aussi
celle d’un triangle sphérique (fig. 29) ayant pour côtés
, et pour angles opposés
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Lobatchevski_-_La_Th%C3%A9orie_des_parall%C3%A8les%2C_1980_-_Fig-1-29.png/408px-Lobatchevski_-_La_Th%C3%A9orie_des_parall%C3%A8les%2C_1980_-_Fig-1-29.png)
Fig. 29
Outre ces deux triangles, l’existence du triangle sphérique entraîne
aussi réciproquement celle d’un triangle rectiligne pouvant avoir
pour côtés
et pour angles respectivement opposés
On peut ainsi passer de
à
et
aussi à
Imaginons que par le point
(fig. 28), en prenant
comme
axe, on mène une surface-limite qui coupe les deux autres axes
en
et
et dont les intersections avec les plans des parallèles
forment un triangle de surface-limite ayant pour côtés
et pour angles respectivement opposés
On aura, par conséquent (prop. 34),
![{\displaystyle p=r\sin \Pi (\alpha ),\qquad q=r\cos \Pi (\alpha ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef32e69f12b308e23d9e577829832b2fcb3feeb1)
Détruisons maintenant le long de la ligne
(fig. 30) la liaison
des trois plans principaux, et étalons-les de façon qu’ils viennent tous
les trois, avec toutes les lignes qu’ils contiennent, s’appliquer sur un
même plan, sur lequel les arcs
se réuniront en un seul arc de
courbe-limite, passant par le point
et ayant pour axe
de
telle sorte que, d’un côté de
seront situés : les arcs
et
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