Remarquons, de plus, que l’on a (prop. 32)
![{\displaystyle t=pe^{f(b)}=r\sin \Pi (\alpha )\cdot e^{f(b)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82cdd4771a4c83b1e51220b9d6500ab3ac120b42)
Si la perpendiculaire au plan du triangle
(fig. 28), au lieu
d’être élevée au point
l’avait été au point
les lignes
et
seraient restées les mêmes ; les arcs
et
se seraient changé en
et
les droites
et
en
et
et l’angle
en
On aurait, par conséquent,
![{\displaystyle q=r\sin \Pi (\beta )\cdot e^{f(a)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775560d3962741ceda59c4a66cf598c5684a9821)
d’où résulte, en substituant pour
sa valeur,
![{\displaystyle \cos \Pi (\alpha )=\sin \Pi (\beta )\cdot e^{f(a)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84c133f3673219f36b241be8b7859bce3573cbb)
et, en changeant
en
en ![{\displaystyle c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5e8f9eb465084d3a00a24026b80652b74ef58e)
![{\displaystyle \sin \Pi (b)=\sin \Pi (c)\cdot e^{f(a)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456e125c69ba2ccee29e6843e6dfe4e19af21b86)
d’où, en multipliant par ![{\displaystyle e^{f(b)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a0c091218652d8b050f42a1196a584278e15e7)
![{\displaystyle \sin \Pi (b)\cdot e^{f(b)}=\sin \Pi (c)\cdot e^{f(c)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f0811941142602e31f5fb5c412b053db09734af)
Il en résulte aussi
![{\displaystyle \sin \Pi (a)\cdot e^{f(a)}=\sin \Pi (b)\cdot e^{f(b)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3788317eeb4aec17eeef5b6c7ee59213d0d82bd)
Or les droites
et
sont indépendantes l’une de l’autre, et de plus,
pour
on a
![{\displaystyle f(b)=0,\qquad \Pi (b)={\frac {1}{2}}\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b55bc5184624a01a88ee056c55e30002f968981)
Donc, pour toute droite
on a
![{\displaystyle e^{-f(a)}=\sin \Pi (\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25912f1128477abb7f2265a9f894b98093dcc8c2)
ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\sin \Pi (c)&=&\sin \Pi (a)&\cdot \sin \Pi (b),\\\sin \Pi (\beta )&=&\cos \Pi (\alpha )&\cdot \sin \Pi (a).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3224deb48ae0c29bf670895ee25061ca58292e26)
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