De ces trois équations on tire encore
![{\displaystyle {\frac {\sin ^{2}\Pi (b)\sin ^{2}\Pi (c)}{\sin ^{2}\Pi (a)}}=\left[1-\cos A\cos \Pi (b)\cos \Pi (c)\right]^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3334963f063ff7a29e9c1afeeeaaab7cf5baa1da)
On conclut de là, sans ambiguïté de signe,
(5)
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En substituant ici pour
sa valeur, conformément à l’équation (3),
![{\displaystyle \sin \Pi (c)={\frac {\sin A}{\sin C}}\operatorname {tang} \Pi (a)\cos \Pi (c),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e3bdb7b93b4cfa9502df8fb4af9a0c0b457cd8)
il vient
![{\displaystyle \cos \Pi (c)={\frac {\cos \Pi (a)\sin C}{\sin A\sin \Pi (b)+\cos A\sin C\cos \Pi (a)\cos \Pi (b)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d01d5df80d5f8de3d118d388f68a1687a338fd40)
Si l’on remplace maintenant
par cette expression dans l’équation (4), on a
(6)
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L’élimination de
au moyen de l’équation (3) donne
![{\displaystyle {\frac {\cos \Pi (a)}{\cos \Pi (b)}}\cos C=1-{\frac {\cos A}{\sin B}}\sin C\sin \Pi (a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e327d4f6b42c4931136fcc722a2e87e6db7621)
D’ailleurs, l’équation (6) donne, par des échanges de lettres,
![{\displaystyle {\frac {\cos \Pi (a)}{\cos \Pi (b)}}=\operatorname {cot} B\sin C\sin \Pi (a)+\cos C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa2f93a6645101e83233ad7cc1afba9a1257ede)
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