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De ces trois équations on tire encore

${\frac {\sin ^{2}\Pi (b)\sin ^{2}\Pi (c)}{\sin ^{2}\Pi (a)}}=\left[1-\cos A\cos \Pi (b)\cos \Pi (c)\right]^{2}.$

On conclut de là, sans ambiguïté de signe,

(5)

$\cos A\cos \Pi (b)\cos \Pi (c)+{\frac {\sin \Pi (b)\sin \Pi (c)}{\sin \Pi (a)}}=1.$

En substituant ici pour $\Pi (c)$ sa valeur, conformément à l’équation (3),

$\sin \Pi (c)={\frac {\sin A}{\sin C}}\operatorname {tang} \Pi (a)\cos \Pi (c),$

il vient

$\cos \Pi (c)={\frac {\cos \Pi (a)\sin C}{\sin A\sin \Pi (b)+\cos A\sin C\cos \Pi (a)\cos \Pi (b)}}.$

Si l’on remplace maintenant $\cos \Pi (c)$ par cette expression dans l’équation (4), on a

(6)

$\operatorname {cot} A\sin C\sin \Pi (b)+\cos C={\frac {\cos \Pi (b)}{\cos \Pi (a)}}.$

L’élimination de $\sin \Pi (b)$ au moyen de l’équation (3) donne

${\frac {\cos \Pi (a)}{\cos \Pi (b)}}\cos C=1-{\frac {\cos A}{\sin B}}\sin C\sin \Pi (a).$

D’ailleurs, l’équation (6) donne, par des échanges de lettres,

${\frac {\cos \Pi (a)}{\cos \Pi (b)}}=\operatorname {cot} B\sin C\sin \Pi (a)+\cos C.$

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