une fonction quelconque de la distance, ou du mouvement de rotation d’un corps solide autour d’un point fixe, on n’aura pas à considérer les six constantes
et, de plus, chacun de ces problêmes ne comportant que six constantes arbitraires, on pourra prendre, pour ces constantes, les six quantités
comme je l’ai fait dans le Mémoire cité sur la variation des constantes arbitraires. Il ne restera alors à trouver que les différentielles de
et de
et d’après le no 11, elles seront de la forme :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}d\beta &=[\beta ,h].(h)dt&&+[\beta ,k].(k)dt&&+[\beta ,\alpha ].(\alpha )dt&&+[\beta ,\gamma ].(\gamma )dt&&+[\beta ,c].(c)dt,\\dc&=[c,h].(h)dt&&+[c,k].(k)dt&&+[c,\alpha ].(\alpha )dt&&+[c,\gamma ].(\gamma )dt&&+[c,\beta ].(\beta )dt.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f72045f3bf801067460f2fb15e8b05add86852f)
Or, dans le no 14, nous avons vu qu’on devoit avoir
![{\displaystyle [\beta ,h]=0,\qquad [c,h]=-[h,c]=-1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2458a79a09fb302eacf39614787a4a1327459cb1)
par la même raison, la quantité
n’entrant pas dans les valeurs précédentes de
on aura
![{\displaystyle [c,k]=0,\qquad [c,\alpha ]=0,\qquad [c,\gamma ]=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c9066450c52b2cac43c38d9d5dc22628b82c697)
et si l’on fait attention aux coëfficiens de la quantité
dans ces mêmes différentielles, on en conclura
![{\displaystyle [\beta ,k]=-[k,\beta ]=-1,\qquad [\beta ,\alpha ]=0,\qquad [\beta ,\gamma ]=-[\gamma ,\beta ]=-{\frac {cos.\gamma }{ksin.\gamma }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bd96d618b001656b1b2ae61ec9b8ad4029b734f)
Donc, à cause de
les valeurs de
et
se réduisent à
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\beta &=-(k)dt-{\frac {cos.\gamma }{k.sin.\gamma }}.(\gamma )dt+[\beta ,c].(c)dt,\\dc&=-(h)dt-[\beta ,c].(\beta )dt\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acecd13a3f8739dae74cf3afb83485b8d1ee0ded)