nous aurons
![{\displaystyle z'={\frac {1}{2\pi }}\iint f(x+\alpha ',y+\beta '){\frac {zd\alpha 'd\beta '}{\left(z^{2}+\alpha ^{'2}+\beta ^{'2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e4bbe87ee7527a87121a895039fd54a1799099)
et il suffira d’étendre cette double intégrale à des valeurs positives ou négatives, mais infiniment petites, de
et
Entre ces limites, la fonction désignée par
pourra être regardée comme constante et égale à
en la faisant passer hors du signe intégral, on aura donc
![{\displaystyle z'={\frac {1}{2\pi }}f(x,y)\iint {\frac {zd\alpha 'd\beta '}{\left(z^{2}+\alpha ^{'2}+\beta ^{'2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa9bf2078ab5bbb26da17c2e808617dca1f22ca)
mais comme la quantité qui reste à intégrer devient infiniment petite ou nulle, en même temps quez, pour toutes les valeurs possibles de
et
qui ne sont pas elles-mêmes infiniment petites, il s’ensuit que rien ne peut empêcher de donner de nouveau, pour limites à l’intégrale,
et
et ![{\displaystyle \beta '=+{\frac {1}{0}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c34aeab78918a0d96b0a2295c6c4d8987f8af74)
Pour intégrer entre ces limites, je fais
![{\displaystyle \beta '=\gamma {\sqrt {z^{2}+\alpha ^{'2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719c939e98898a80b84929665e48a79700c2cef9)
étant une nouvelle variable dont les valeurs extrêmes seront
Nous aurons
et
![{\displaystyle z'={\frac {1}{2\pi }}f(x,y)\int {\frac {zd\alpha '}{z^{2}+\alpha ^{'2}}}.\int {\frac {d\gamma }{\left(1+\gamma ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395760ffee4dd21f748628f296f58836c17f748d)
intégrant depuis
jusqu’à
et de même depuis
jusqu’à
il vient