![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {zd\alpha '}{z^{2}+\alpha ^{'2}}}&=arc\left(tang.={\frac {\alpha '}{z}}\right)=\pi ,\\\int {\frac {d\gamma }{\left(1+\gamma ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}&={\frac {\gamma }{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}=2\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ed436e21d10a09868d4f7c4e69c0be39f6e7e4b)
on aura donc finalement
![{\displaystyle z'=f(x,y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df17718ef651d6282de4cf7c51774836aefd47a9)
ce qu’il s’agissait en effet de vérifier.
(34) Reprenons maintenant l’équation (a), et développons son second membre suivant les puissances de
Nous avons
![{\displaystyle {\sqrt {u}}.sin.t{\sqrt {gu}}=ut{\sqrt {g}}-{\frac {u^{2}\left(t{\sqrt {g}}\right)^{3}}{2.3}}+{\frac {u^{3}\left(t{\sqrt {g}}\right)^{5}}{2.3.4.5}}-{\text{etc}}.;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/215333c30bdb7866d9d31773d415edc136016f60)
en convenant donc de représenter par
la même intégrale double que dans le numéro précédent, on aura généralement
![{\displaystyle \iint e^{-uz}cos.(u\rho .cos.\omega ).u^{n}\,du\,d\omega =(-1)^{n}{\frac {d^{n}\mathrm {Z} }{dz^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3659dfd77f6c25cd3b743f53d2917f2f1b788026)
et l’équation (a) deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi =-{\frac {gt}{\pi ^{2}}}\iint &\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}+{\frac {gt^{2}}{2.3}}.{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dz^{2}}}+{\frac {g^{2}t^{4}}{2.3.4.5}}.{\frac {d^{3}\mathrm {Z} }{dz^{3}}}\right.\\&\qquad \quad +\left.{\frac {g^{3}t^{6}}{2.3.4.5.6.7}}.{\frac {d^{4}\mathrm {Z} }{dz^{4}}}+{\text{etc}}.\right)f(\alpha ,\beta )d\alpha \,d\beta .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c53d2b06e67ef6e75cab3a220619817898e8b65)
On y devra substituer pour
sa valeur, savoir :
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {\pi }{2{\sqrt {z^{2}+r^{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007bb724d99e2fdbd199d57602105b1841b5f8b7)
d’après laquelle on voit que la série comprise entre les pa-