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Désignons enfin par $\Omega$ la partie de $\varphi$ et par $\Omega '$ et $\Omega ''$ les deux parties de $\varphi '$ qui répondent à $p_{1}$ et aux deux dernières parties de $q_{1},$ la première ayant déjà été employée pour former $\Phi '\,;$ au moyen des équations (2) et (19), nous aurons

$\left.{\begin{aligned}\Omega \;=&{\frac {a^{2}}{2\pi ^{3}\left(a^{2}-a'^{2}\right)}}\iiint \!\!\!\iiint f'r'\cos .\lambda te^{{\frac {a'}{a}}(h-x){\sqrt {\delta ^{2}-\alpha '^{2}}}}\left[a'\alpha '\cos .\left(\alpha '(x'-h)\right.\right.\\&\left.+\beta (y'-y)+\gamma (z'-z)\right)-a{\sqrt {\delta ^{2}-\alpha '^{2}}}\sin .\left(\alpha '(x'-h)\right.\\&\left.\left.+\beta (y'-y)+\gamma (z'-z)\right)\right]{\frac {a'\alpha '}{a^{2}\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)-a'^{2}\alpha '^{2}}}d\alpha 'd\beta d\gamma dx'dy'dz',\\\Omega '\ =&{\frac {1}{4\pi ^{3}\left(a^{2}-a'^{2}\right)}}\iiint \!\!\!\iiint f'r'\cos .\lambda t\cos .\left[\alpha '(x'+x-2h)\right.\\&\left.+\beta (y'-y)+\gamma (z'-z)\right]\\&\times {\frac {a'^{2}\left(a^{2}+a'^{2}\right)\alpha '^{2}-a^{2}\left(a^{2}-a'^{2}\right)\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)}{a^{2}\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)-a'^{2}\alpha '^{2}}}d\alpha 'd\beta d\gamma dx'dy'dz',\\\Omega ''=&{\frac {a'^{2}}{2\pi ^{3}\left(a'^{2}-a^{2}\right)}}\iiint \!\!\!\iiint f'r'\cos .\lambda t\sin .\left[\alpha '(x'+x-2h)\right.\\&\left.+\beta (y'-y)+\gamma (z'-z)\right]{\frac {aa'\alpha '{\sqrt {\delta ^{2}-\alpha '^{2}}}}{a^{2}\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)-a'^{2}\alpha '^{2}}}d\alpha 'd\beta d\gamma dx'dy'dz'\,;\end{aligned}}\right\}$

(k)

les intégrales relatives à $x',y',z',\beta ,\gamma ,$ ayant toujours $\pm \infty$ pour limites, et celles qui répondent à $\alpha '$ étant prises depuis $\alpha '=0$ jusqu’à $\alpha '=\delta .$

Dans ces équations (i) et (k), on prendra

${\begin{aligned}\lambda =&a'{\sqrt {\alpha '^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}},\\\alpha =&{\frac {1}{a}}{\sqrt {a'^{2}\alpha '^{2}-\left(a^{2}-a'^{2}\right)\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)}},\\\delta =&{\frac {1}{a'}}{\sqrt {\left(a^{2}-a'^{2}\right)\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)}}.\end{aligned}}$

Pour avoir les parties de $\varphi$ et $\varphi '$ relatives à la fonction $\operatorname {F} ',$ on changera $f'r'$ en $\operatorname {F} 'r',$ on multipliera par $dt,$ puis on intégrera par rapport à $t$ de manière que les intégrales s’évanouissent avec cette variable. Cela fait, la valeur complète de $\varphi$