Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/739

et

$\lambda =\lambda _{0}+\mathrm {M} \mu \cot .\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''.$

D’un autre côté la relation $\sin .\sigma '=\cot .\mathrm {V} '\cot .\lambda ,$ donnera, en y mettant pour $\lambda$ sa valeur actuelle,

$\sigma '=\sigma '_{0}-\mathrm {M} \mu \operatorname {cosec} .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\sigma '_{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} '',$

en faisant

$\sin .\sigma '_{0}=\cot .\mathrm {V} '\cot .\lambda _{0}.$

Par la même raison

$\sigma ''=\sigma ''_{0}-\mathrm {M} \mu \operatorname {cosec} .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\sigma ''_{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} '',$

lorsque $\sin .\sigma ''_{0}=\cot .\mathrm {V} ''\cot .\lambda _{0}\,;$ ainsi

$\sigma ''-\sigma '=\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}-\mathrm {M} \mu \operatorname {cosec} .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''{\frac {\sin .(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0})}{\cos .\sigma ''_{0}\cos .\sigma '_{0}}}.$

Substituant cette valeur et celle de $\cos .\lambda$ dans la série (B’) du § II ; puis développant, on aura

${\begin{aligned}\omega &=\varphi +\left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)\left[{\frac {1}{2}}\varepsilon \cos .\lambda _{0}-{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\cos .\lambda _{0}\left(6+\sin .^{2}\lambda _{0}\right)\right]\\&+{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda _{0}\cos .\lambda _{0}\left(\sin .2\sigma ''_{0}-\sin .2\sigma '_{0}\right)\\&-{\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)\cos .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\left[\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}+{\frac {\sin .(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0})}{\sin .^{2}\lambda _{0}\cos .\sigma ''_{0}\cos .\sigma '_{0}}}\right]\,;\end{aligned}}$

après quoi l’on déterminera

$\sin .\lambda ''=\mathrm {\frac {\cos .V''\cos .\omega -\cos .V'}{\sin .V''\sin .\omega }} .$

Mais pour avoir directement $\lambda ''$ par la série de Maclaurin, fandrait évaluer le coefficient différentiel du second ordre ; ce qui donnerait

$\left({\frac {d^{2}\lambda ''}{d\mu ^{2}}}\right)=\mathrm {-M\cot .\varphi +\operatorname {tang} .L''\left(1+\cot .^{2}\varphi +M^{2}\right)=N} \,;$