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et en vertu des équations (1) ;

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}=&1+{\sqrt {n}}\\\mathrm {A} _{2}=&5+6\lambda +{\sqrt {n}}\\\mathrm {A} _{3}=&7+9\lambda +(1+\lambda ){\sqrt {n}}\\\mathrm {A} _{4}=&4+7\lambda +3\lambda ^{2}+(2+2\lambda ){\sqrt {n}}.\end{aligned}}$

Ces formules pour les nombres premiers $4i+1,$ considérés sous les quatre formes $24\lambda +1,+5,+13,+17,$ dont ils sont susceptibles, s’appliquent aux nombres premiers $4i-1,$ considérés également sous leurs quatre formes $24\lambda -1,-5,-13,-17.$ Il suffit pour cela de changer le signe de $\lambda$ dans les formules précédentes et en même temps le signe de $n$ dans l’équation $4\mathrm {X} =\mathrm {Y} ^{2}-n\mathrm {Z} ^{2}$ relative aux nombres premiers $4i+1\,;$ on aura ainsi les valeurs de $\mathrm {A}$ qui satisfont à l’équation $4\mathrm {X} =\mathrm {Y} ^{2}+n\mathrm {Z} ^{2}$ relative aux nombres premiers $4i-1\,;$ nous les avons réunies dans le tableau suivant :

$\scriptstyle {\begin{array}{c|c|c|c|c}n&\mathrm {A} _{1}&\mathrm {A} _{2}&\mathrm {A} _{3}&\mathrm {A} _{4}\\\hline 24\lambda -1&1+{\sqrt {-n}}&1-6\lambda +{\sqrt {-n}}&1-9\lambda +(1-\lambda ){\sqrt {-n}}&1-11\lambda +3\lambda ^{2}+(1-2\lambda ){\sqrt {-n}}\\24\lambda -5&1+{\sqrt {-n}}&2-6\lambda &3\lambda -\lambda {\sqrt {-n}}&2\lambda +3\lambda ^{2}+\lambda {\sqrt {-n}}\\24\lambda -13&1+{\sqrt {-n}}&4-6\lambda &-1+3\lambda +(1-\lambda ){\sqrt {-n}}&4-8\lambda +3\lambda ^{2}+\lambda {\sqrt {-n}}\\24\lambda -17&1+{\sqrt {-n}}&5-6\lambda +{\sqrt {-n}}&7-9\lambda +(1-\lambda ){\sqrt {-n}}&4-7\lambda +3\lambda ^{2}+(2-2\lambda ){\sqrt {-n}}\end{array}}$

Ainsi on voit que pour tout nombre premier $n=24\lambda -1,$ les premiers termes des valeurs de $\mathrm {Y}$ et de $\mathrm {Z}$ seront

${\begin{aligned}\mathrm {Y} =&2x^{m}+x^{m-1}+(1-6\lambda )x^{m-2}+(1-9\lambda )x^{m-3}+\left(1-11\lambda +3\lambda ^{2}\right)x^{m-4}+{\text{etc}}.\\\mathrm {Z} =&x^{m-1}+x^{m-2}+(1-\lambda )x^{m-3}+(1-2\lambda )x^{m-4}+{\text{etc}}.\end{aligned}}$